Ecuaciones de tercer grado
Fecha de primera versión: 06-12-01
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Aunque hay fórmula para resolver las ecuaciones de tercer grado, no merece la pena aprenderse la fórmula, pues hay otros métodos de resolver la ecuación de una forma más cómoda.
La historia de la resolución de las ecuaciones de tercer grado es muy bonita.
Parece ser que Scipione Del Ferro, un profesor de la Universidad de Bolonia, había encontrado la siguiente fórmula
para resolver las ecuaciones cúbicas de la forma x3 + px = q.
Del Ferro mantuvo en secreto esta fórmula, hasta poco antes de morir que se la dijo a su yerno y a uno de sus alumnos llamado Antonio María del Fiore. Años más tarde del Fiore y Niccolo Tartaglia, coincidieron en Venecia y, no se sabe muy bien debido a qué, se retaron matemáticamente: Cada uno planteó al otro 30 problemas. El que perdiese tendría que pagar una comida al vencedor y a tantos amigos del vencedor como problemas hubiese resuelto el vencedor.
Los problemas de Tartaglia eran de temas variados, pero los de del Fiore consistían todos en resolver la ecuación x3 + px = q.
Tartaglia tardó 48 días en encontrar la solución a esta ecuación.
Tartaglia ganó la apuesta: Resolvió todos los problemas que le había planteado del Fiore. en cambio, éste no fue capaz de resolver ninguno de los problemas que le planteó Tartaglia
La fama de Tartaglia se acrecentó después de este enfrentamiento. La noticia llegó a oidos de Girolamo Cardano (1501-1576) que tras varios intentos fracasados, consiguió, después de que Cardano le jurase que no revelaría el secreto, que Tartaglia le dijese la fórmula.
Consiste en resolver el siguiente sistema de ecuaciones:
el valor de x se obtiene aplicando la fórmula:
Cardano respetó en principio el juramento, pero continuó estudiando las ecuaciones de tercer grado, por su cuenta y con la ayuda de su discípulo Ludovico Ferrari. Además consiguieron ver los papeles de Scipione del Ferro, así que Cardano ya no se sentía condicionado por el juramento a Tartaglia y publicó, en su libro Ars Magna la fórmula.
Tartaglia se sintió traicionado e inició una larga disputa con Cardano y Ferrari, que finalizó en un reto entre Tartaglia y Ferrari, en el que cada uno proponía al otro 31 problemas. El resuelto fue nefasto para Tartaglia. Ferrari era muy superior intelectual y dialécticamente a Tartaglia. (Tartaglia era tartamudo, de hecho el nombre de Tartaglia es un mote que alude a su tartamudez) y Tartaglia tuvo que huir por la noche de la ciudad.
Las fórmulas para la resolución de las ecuaciones de tercer grado, han pasado a la historia como fórmulas de Cardano (aunque hubiese sido mas justo que se llamasen de del Ferro o de Tartaglia).
Las ecuaciones de este tipo son famosas y los profesores suelen ponerlas en los exámenes. Quedareis muy bien si además citáis el libro en que apareció por primera vez y el autor (Libro: Ars Magna. Autor: Girolamo Cardano).
Si nos dan una ecuación del tipo x3 + bx2 + cx + d = 0 podemos convertirla en x3 + px = q haciendo el cambio de Tschirnhaus, x = t - b/3, que hace desaparecer el término en x2 y aplicar el método anterior.
El cambio de Tschirnhaus es de aplicación a cualquier polinomio a0xn + a1xn-1 + a2xn-2 + ... + an = 0. haciendo x = t - a1/na0 el polinomio se convierte en otro en el que ha desaparecido el término en xn - 1.