Ecuaciones diofánticas
Fecha de primera versión: 07-10-2000
Fecha de última actualización:
19/04/2010
Las ecuaciones diofánticas deben su nombre a Diofanto que fue quien las estudió primero.
Una ecuación diofántica es una ecuación cuyas soluciones son números naturales.
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número finito de soluciones o ninguna.
Resolución:
ax = c - by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor
que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c - by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a - bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Sea la ecuación 3x + 5y = 52
3x = 52 - 5y.
Para y = 0 queda 3x = 52
Para y = 1 queda 3x = 47
Para y = 2 queda 3x = 42
El único valor de y que hace x entero es y = 2. Entonces b
= 2 y a
= 14.
x = 14 - 5t. Para t = 0, x = 14. Para t = 1, x = 9. Para t = 2, x = 4.
y = 2 + 3t. Para t =0, y = 2. Para t = 1, y = 5. Para t = 2, x = 8
Para que ésta ecuación tenga solución c tiene que ser divisible por el máximo común divisor de a y b.
En este caso la ecuación tiene un número infinito de soluciones.
Resolución:
ax = c + by
Dando valores a y, desde y = 0 hasta y = a - 1, encontraremos un único valor
que sea múltiplo de a.
Sea b el valor de y que hace c + by múltiplo de a. Entonces conoceremos el valor de x que satisface la ecuación. Sea a ese valor.
Para obtener las demás soluciones hacemos x = a + bt e y = b +at y damos a valores a t = 0,1,2... siempre que se pueda hacer la sustracción.
Como x2 - y2 = (x+y).(x-y). La ecuación queda (x-y).(x+y) = a.
Ahora hacemos a = bc.
b y c deben ser ambos pares o ambos impares, pues la suma de dos números y su diferencia son ambas pares o ambas impares. Entonces
x - y = b
x + y = c
Resolviendo el sistema se obtiene:
x = (b - c) / 2
y
= (b + c) / 2
Supondremos x, y, z primos entre sí ya que si x, y ,z es solución de la ecuación también lo es a.x, a.y, a.z para cualquier a .De ahí se deduce que encontrada una solución hay infinitas.
Suponemos x impar, lo podemos hacer ya que al ser x, y, z primos entre sí no pueden haber dos pares.
Transformamos la ecuación en z2 - y2 = x2
Como z2 - y2 = (z - y)(z + y).
(z - y)(z + y) = x2
El problema se reduce a descomponer x2 como producto de dos números primos entre sí. Sean u y v estos números.
(z - y)(z + y) = uv obtenemos y = (u2 - v2)/2, z = (u2 + v2)/2
Son dos soluciones enteras puesto que la suma y la diferencia de dos impares es un número par.
Esta ecuación, con d un número natural mayor que cero, se llama ecuación de John Pell, aunque fue Lagrange quien resolvió la ecuación.
Lagrange demostró que la enésima solución (xn, yn), se puede expresar en términos de la primera de esta forma:
xn + ynÖd = (x1 + y1Öd)n
Resolver la ecuación de Pell significa encontrar x1 e y1.
Hay un método bastante rápido que consiste en expresar la raíz como una fracción continua.
Sea la ecuación x2 = 14y2 + 1
Ö14 = 3 + 1/(1 + (1/(2 +1)) = 15/4; x1 = 15, y1 = 4
(15 + 4Ö14)2 = 449 + 120Ö14 ; x2 = 449, y2 = 120
(15 + 4Ö14)3 = 13455 + 3596Ö14 ; x3 = 13455, y3 = 3596
En esta página puedes resolver las ecuaciones de Pell. http://archives.math.utk.edu/articles/atuyl/confrac/pell.html
Esta ecuación con a, número natural, se llama ecuación de Louis Mordell.
Con a cualquier número natural.
Su representación gráfica es una curva elíptica en el plano Real. Para cada a posee un número finito de soluciones enteras.
La ecuación xn + yn = zn no tiene solución para n > 3, siendo n un número entero.
Expresado en palabras significa que un cubo no se puede expresar como suma de dos cubos, y ninguna potencia mayor o igual que tres se puede expresar como suma de otras dos similares.
Este teorema estuvo sin demostrar durante más de trescientos años, aunque Fermat anotó en el margen del libro de Aritmética de la edición de Bachet "Para esto he descubierto una demostración verdaderamente maravillosa, pero el margen de éste libro es demasiado pequeño para contenerla...". Nadie encontró esa demostración y se dudó de su existencia.
El intento por demostrar éste teorema ocasionó una evolución de las matemáticas.
Finalmente en 1993 Andrew Wiles demostró el teorema relacionándolo con las curvas elípticas modulares, en un manuscrito de doscientos folios.
Supongamos que tenemos que resolver este sistema de ecuaciones, sabiendo que las soluciones tienen que ser números naturales
x + y + z = 100
50x + 1000y + 5000z = 100000
Simplificando y sustituyendo el valor de x obtenido en la primera ecuación nos queda:
x + y + z = 100
19y + 99z = 1900
Despejando y en la segunda ecuación nos queda y = 100 - 99z/19. Sustituyendo este valor en la primera ecuación y despejando x nos queda: x = 88z/19.
Para que los valores de x, y y z sean enteros z tiene que ser múltiplo de 19.
si z = 19, y = 1 y x = 80.