Vector fijo:
Algunas magnitudes (las fuerzas, las velocidades, las aceleraciones, etc) no quedan suficientemente definidas con un número. Por ejemplo, si nos dicen que sobre un cuerpo actua una fuerza de 5 Newton, no podríamos decir en que dirección se movería el cuerpo, porque no nos han dicho el punto de aplicación de la fuerza, ni la dirección y sentido de la fuerza. Los vectores resuelven estas indefiniciones.
Un vector fijo es un segmento orientado. Un vector fijo tiene:
Punto de aplicación: es el origen del segmento.
Dirección: Mide la inclinación del segmento. El segmento puede ser horizontal, vertical o tener una inclinación determinada entre estas dos.
Sentido: Dada una recta con una dirección determinada, nos podemos mover sobre ella, en dos sentidos (derecha o izquierda).
Módulo: Es el tamaño del segmento. Se representa por |AB|.
A los vectores fijos que tienen igual módulo, dirección y sentido (o sea que sólo se diferencian en el punto de aplicación) se les llama equipolentes. Es una forma elegante de decir que son equivalentes (muy parecidos).
El conjunto formado por todos los vectores fijos, equipolentes a uno determinado (por ejemplo AB), se le llama vector libre y se representa por {AB} .
Cualquier vector se puede descomponer en suma de otros vectores. En principio hay infinitas formas de descomponer un vector en suma de otros vectores, pero si elegimos unas direcciones determinadas (fijamos unos ejes) sólo habrá una forma de descomponer un vector en suma de otros. Esos vectores que resultan de la descomposición del vector se llaman componentes del vector.
Vector unitario.
Como su nombre indica un vector unitario es un vector que tiene de módulo 1.
A veces nos dan un vector y nos piden que calculemos su vector unitario (si lo queréis decir de forma elegante: normalizar un vector). Lo unico que tenemos que hacer es calcular el módulo del vector (sea m) y dividir el vector por m.
Por ejemplo si el vector es ai + bj, el módulo sera la raiz cuadrada de a2 + b2 .
Operaciones con vectores
Suma
Los vectores libres se pueden sumar. Gráficamente la suma de vectores libres equivale a poner un vector a continuación del otro. El vector suma será el vector que va desde el origen del primer vector al extremo del último vector. Si nos dan las componentes de dos vectores, la suma de esos vectores será igual a la suma de las componentes (ejemplo: el vector libre a, que está en un plano, tiene componentes 3 y 4 (se representa asi (3,4)) y el vector libre b tiene componentes (0,-2), la suma de a y b será (3,2).
Multiplicación por un número real
Los vectores libres se pueden multiplicar por un número real n. El vector resultante será un vector de módulo n veces el original, de la misma dirección que el original y de sentido igual al original si n es positivo y de sentido contrario si n es negativo.
Teniendo en cuenta que los vectores se pueden sumar entre sí y que se pueden multiplicar por números reales, podremos obtener vectores haciendo estas operaciones de suma y multiplicación. Supongámos que un vector v es el resultado de multiplicar un vector a por 5 y sumarle otro vector b (v = 5a + b), en este caso diremos que v es una combinación lineal de a y b.
Dado un conjunto de vectores, si ninguno de ellos es combinación lineal de los demás, se dice que ese conjunto de vectores son linealmente independientes y linealmente dependientes en caso contrario.
En el plano, un vector queda definido por dos componentes (en el espacio de tres dimensiones, necesitaríamos tres). Cualquier par de vectores linealmente independientes forman una base del plano vectorial.
En un plano, tres vectores son siempre linealmente dependientes. Esto quiere decir, que cualquiera de los tres vectores se puede obtener como una combinación lineal de los otros dos.
¿Cómo averiguar si dos vectores, referidos a una base, en un plano son linealmente dependientes?
Supongámos que nos pregunta si los vectores a = 4i - 5j y b = 3i + j, que están referidos a una base B = {i,j}, son linealmente independientes.
Para que a y b sean dependientes tendría que existir un único número real k que cumpliese la ecuación ka = b. O sea, k(4i - 5j) = 3i + j.
Igualando las componentes: 4k = 3 y -5k = 1. Para que se cumpla la primera ecuación k tiene que valer 3/4 y para que se cumpla la segunda k tiene que valer -1/5, por lo tanto los dos vectores son linealemte independientes.
Producto escalar
El producto escalar de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus modulos y el coseno del ángulo que forman a y b.
El producto escalar de dos vectores es un número (esto que parece una tontería es muy importante, porque quiere decir que no es un vector)
El producto escalar tiene las propiedades siguientes:
Conmutativa: a.b = b.a
Distributiva respecto a la suma: a.(b+c) = a.b +a.c
Producto vectorial
El producto vectorial de dos vectores, a y b, se define como el producto de sus modulos y el seno del ángulo que forman a y b.
El producto escalar de dos vectores es otro vector, perpendicular al plano formado por los vectores a y b.