Menaechmo, un discípulo de Platon y Eudoxo, estudió un caso especial de la hiperbola (xy = ab llamado hiperbola rectangular).
Euclides también estudió esta curva, pero ha pasado a la historia de la mano de Apolonio de Perga, al que debe su nombre.
Esta es la razón del nombre:
La parábola se puede expresar por esta ecuación y2 = kx, siendo k = 2b2/a. Esto quiere decir que en cualquier punto de la parábola podemos construir un cuadrado de lado y (la ordenada del punto) y un rectángulo de lados x (la abscisa del punto) y k, y las áreas del cuadrado y el rectángulo siempre seran iguales.
Si hacemos lo mismo en una hiperbola el cuadrado siempre sera mayor y en una parábola el cuadrado siempre es menor.
Resulta que una de las acepciones de parábola en griego era equiparable, de elipse deficiencia y de hipérbola exceso. De ahí los nombres.
Esto es una hipérbola (la figura en negro).
La propiedad de esta curva es que la diferencia de las distancias de cualquier punto de la hipérbola a dos puntos F1 y F2 (que se llaman focos) es constante.
El eje que pasa por los puntos A y B se llama eje real.
El eje que pasa por los puntos C y D se llama eje imaginario.
Los puntos A y B se llaman vértices.
Las rectas de color verde se llaman asíntotas (no sólo las hipérbolas tienen asintotas).
La ecuación de la hipérbola es x2/a2 - y2/b2 = 1
Cuando a = b la hipérbola se llama equilátera. En ese caso la ecuación es x2 - y2 = a2 y las asíntotas son perpendiculares. Si utilizamos las asintotas como ejes de coordenadas, la ecuación queda xy = a2/2.
Este dibujo representa una rama de una hipérbola equilátera.
La ecuación de la hipérbola equilátera es la ecuación de la proporcionalidad inversa (dos variables son inversamente proporcionales cuando si dividimos una de ellas por una cantidad, la otra se mulitplica por la misma cantidad. Supongamos la ecuación xy = 80, esto quiere decir que si x = 20, y = 4, si dividimos x por 10, y se tiene que multiplicar por 10, para que se siga manteniendo la igualdad).
La hipérbola equilátera tiene otra propiedad notable: si calculamos el área comprendida entre la hipérbola, el eje x y las verticales levantadas en dos puntos cualesquiera (a y b en el dibujo) y el área comprendida entre la hipérbola, el eje x y dos puntos situados n veces los anteriores (3a y 3b en el dibujo) veremos que son iguales.
En la página http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Curves/Curves.html encontrarás todo sobre las curvas.