El libro de Geometría (y podríamos decir de Matemáticas) más importante es sin duda Elementos, su autor es Euclides. Este libro se utilizaba hasta hace poco en Inglaterra como libro de texto. El quinto postulado de Euclides es una de las cuestiones matemáticas mas controvertidas de la historia de las matemáticas.
Euclides parte de 23 axiomas (un axioma es una proposición tan clara y evidente que no necesita demostración. Por ejemplo el primer axioma de Elementos es "Un punto es lo que no tiene partes") y 5 postulados (un postulado es una proposición no evidente que se admite sin probar. Por ejemplo el 5º postulado dice "Por un punto exterior a una recta, solo puede trazarse una paralela a ésta") y demuestra muchos teoremas (un teorema es una proposición no evidente que se demuestra a partir de los axiomas y postulados).
El quinto postulado dice: Y que si una recta al incidir sobre dos rectas hace los ángulos internos del mismo lado menores que dos rectos, las dos rectas prolongadas indefinidiamente se encontraran en el lado en el que están los (ángulos) menores que dos rectos.
Esta formulación, que es la original es confusa por lo que se suele enunciar el quinto postulado de esta forma: Por un punto exterior a una recta se puede trazar una y sólo una paralela a dicha recta.
El quinto postulado de Euclides afirma dos cosas: uno, la existencia de una recta que pasa por el punto y que es paralela a la recta dada y dos, que esta recta es única.
Por lo tanto el quinto postulado puede negarse totalmente o negar sólo la segunda parte.
El quinto postulado de Euclides es muy famoso. Muchos matemáticos han tratado de demostrarlo como teorema, pero no se ha conseguido (ni se conseguirá). Saccheri (1667-1733), Lambert (1728-1777), Legendre y Gauss fueron algunos de los matemáticos que estudiaron el quinto postulado.
El primero en sospechar que podría formularse un quinto postulado distinto fue Gauss, pero no se atrevió a publicar nada.
Lobachewski (1792-1856), matemático ruso, formuló una nueva geometría (en su libro Nuevos elementos de Geometria 1855) partiendo del postulado de que por un punto exterior a una recta se pueden trazar más de una paralela a ella, demostró que el quinto postulado no se puede probar y que la geometría que se desarrolla, partiendo de este nuevo quinto postulado es consistente.
La geometría que obtenía (aunque consistente) le parecía tan contraria al sentido común que la calificó como geometría imaginaria. A esta geometría se le llama hoy geometría hiperbólica.
Bolyai (1802-1860) también demostró la imposibilidad de probar el quinto postulado y la existencia de geometrías no euclideas. El padre de Bolyai envió a Gauss el trabajo de su hijo y Gauss le contestó albando el trabajo de su hijo y diciéndole que el habia llegado hacía tiempo a la misma conclusión pero que no se habia atrevido a publicar nada por miedo a ser mal interpretado.
Bernhard Riemann (1826-1866) partiendo del postulado "Por un punto exterior a una recta no se puede trazar ninguna paralela", desarrolló la geometría elíptica.
A estas geometrías se les llama geometrías no euclideas. A la geometría euclidea se le denomina también geometría parabólica.
En la geometría euclídea la suma de los ángulos de un triángulo es 180º, en la elíptica la suma de los ángulos de un triángulo es mayor de 180º y en la hiperbólica, menor de 180º.