Límites de funciones

Introducción

Algunas funciones tienen un comportamiento extraño en algunos puntos de su gráfica. Por ejemplo, cuando no hay valores de y para algunos valores de x, o cuando la función obtiene un valor indeterminado.

Limites finitos en puntos finitos

Este es el caso mas habitual: a cada valor que le damos a la variable x, obtenemos un valor para la funcion y.

Consideremos la funcion y = x³ y el punto x = 2.

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 1,9 hasta x = 2 para valores cada vez mas proximos a x = 2

Hagamos una tabla con los valores de y que obtenemos al dar valores a x desde x = 2,1 hasta x = 2 con valores cada vez mas próximos a x = 2

Como vemos tanto si nos acercamos a x = 2 por la derecha como por la izquierda el valor de y se acerca a 8 (un numero determinado). Este es el comportamiento habitual de las funciones, pero, en algunos casos no ocurre esto.

Definición

Se dice que la funcion y = f(x) tiene como limite el numero L, cuando x tiende a x₀ si, para cualquier e , mayor que cero, existe un numero positivo d, tal que, para todos los x distintos de x₀ que cumplen la condicion ½ x - x₀½ < d, se cumple que ½ f(x) - L½ < e.

Una función y = f(x) tiene limite en el punto x₀, si y solo si, los limites de la función existen y son iguales cuando x tiende a x₀ por la derecha y por la izquierda.

Limites infinitos en puntos finitos

La funcion y = 1/x² cuando x = 0, tiene un comportamiento diferente, pues el valor de y tiende a infinito a medida que x se acerca a cero, tanto por la derecha como por la izquierda.

En este caso, cuanto mas nos acercamos a 0 mas crece el valor de y. Se dice que y tiende a infinito.

Definición

La función y = f(x) tiene un limite +infinito o -infinito, cuando x tiende a x₀ si para cualquier M positivo, existe un d , mayor que cero, tal que, para todos los x distintos de x₀ que cumplen la condicion ½ x - x₀½ < d, se cumple que ½f(x)½ >M.

Limites en el infinito

Otro caso a estudiar es cuando x se hace muy grande (tiende a infinito). Supongamos la funcion y = (1 + 1/x). Cuando x se hace muy grande el termino 1/x se hace muy pequeño, por lo tanto y tiende a 1 cuando x tiende a infinito.

Definición

La función y = f(x) tiene un limite L cuando x tiende a +infinito o x tiende a -infinito, si para cualquier e, mayor que cero, es posible encontrar un N, mayor que cero, tal que, para todos los valores de x que cumplen la condicion ½x½ > N, se cumple que ½f(x) - L½ < e.

Infinitésimos

Todos nos imaginamos un infinitésimo como algo muy pequeño, pero no es sólo eso, además debe ser algo que podamos hacer todo lo pequeño que queramos. Un infinitésimo no es un número

Definición

Un infinitésimo es una función que tiene la característica que cuando x se acerca a determinado valor, la funcion se acerca a cero.

Comparación de infinitésimos

Algunas funciones se acercan a cero mas rápidamente que otras.

Para comparar dos infinitesimos, se dividen, si el resultado es un numero real (que no sea cero) los infinitesimos son del mismo orden, si es igual a cero, el infinitesimo del numerador es de orden superior al del denominador. Si el cociente es un número complejo, cambiamos el numerador por el denominador y si el cociente es 0 el inifinitesimo que esta en le numerador (en el segundo cociente) es de orden superior al situado en el denominador, si el segundo cociente sigue siendo complejo, los infinitesimos son incomparables.

Infinitésimos más usuales

Sólo se pueden usar los inifinitesimos en productos y cocientes

Cuando x tiende a cero.

sen kx se puede sustituir por kx

tg kx se puede sustituir por kx

e^kx- 1 se puede sustituir por x

a^x- 1 se puede sustituir por xln a

ln(1 + x) se puede sustituir por x

1 - cos x se puede sustituir por x²/2

arcsen x se puede sustituir por x

(1 + x)^m - 1 se puede sustituir por mx

Cuando x tiende a pi/2.

cotg kx se puede susitutir por pi/2 - kx

Indeterminaciones

A veces, al calcular el límite de una función nos sale una indeterminación.

Las indeterminaciones son:

( ¥ - ¥ )

( ¥ / ¥ )

(0 / 0)

(0 * ¥ )

(0⁰)

(¥ ⁰)

(1^¥ )

Es evidente que el símbolo ¥ representa un número muy grande pero ya no es tan evidente que los números cero y uno que aparecen en estas expresiones no son exactamente estos números si no números infinitamente próximos a ellos. Por eso, un número infinitamente próximo a 1 elevado a un número infinitamente grande es una indeterminación.

Cuando el resultado de una expresión es una indeterminación tenemos que ingeniarnoslas (haciendo operaciones que no alteren la expresión) para deshacer la indeterminación.

Si la indeterminacion es del tipo ¥ /¥ se resuelve dividiendo numerador y denominador por la incognita elevada a mayor grado.

Si es del tipo ¥ - ¥ se resuelve con (a+b)(a-b).

Si es 1¥ se resuelve con el numero e = (1+1/a)^a.

Regla de l'Hopital

Este método de romper las indeterminaciones, en realidad se debe a Johann Bernoulli. Johann vendía al marques de l'Hopital sus trabajos y éste los publicaba como si fuesen suyos.

Cuando la indeterminación es de la forma 0/0 o ¥ / ¥, y las funciones del numerador y del denominador son derivables en el punto que produce la indeterminacion, se puede romper la indeterminacion derivando las funciones del numerador y del denominador. Dicho matematicamente:

en el supuesto de que exista el segundo limite.

Cuando la indeterminacion es del tipo ¥ - ¥ se puede convertir en 0/0 haciendo esta operacion:

f(x) - g(x) = (1/g(x) - 1/f(x))/(1/(f(x)g(x)).

Cuando la indeterminacion es del tipo 0 *¥ se puede convertir en 0/0 o ¥ / ¥ haciendo esta operacion:

f(x) * g(x) = (g(x))/(1/(f(x)).

Cuando la indeterminacion es de la forma 0⁰, ¥ ⁰ o 1^¥ se puede convertir en la forma 0 *¥ aplicando logaritmos a la función, y despues se puede resolver aplicando la transformacion anterior.

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