Funciones

Definición

Una función es una serie de operaciones que se hacen a una variable y de las que se obtiene un valor.

Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina ' funciona) se llama dominio de definición de la función.

Ejemplo: la función raiz cuadrada de un número no está definida para números negativos.

Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.

Ejemplo: la función y = x² nunca obtiene valores negativos.

Clasificación

De la definición de función se intuye que hay muchisimas funciones. Para estudiarlas conviene comenzar por las mas sencillas y clasificarlas en diferentes tipos.

Las funciones elementales son las siguientes:

Función potencial: y = x^a

Función exponencial: y = a^x

Función logarítmica: y = log_a x

Funciones circulares: y = sin x, y = cos x, y = tan x, y = cosec x, y = sec x, y = cot x.

A partir de las funciones potenciales, mediante sumas y diferencias se obtienen las funciones polinómicas (y = a_nxⁿ+ a_n-1x^n-1 + ... + a₀ )

Las funciones racionales se obtienen con el cociente de dos funciones polinómicas.

La función es irracional cuando algun exponente del polinomio no es entero.

Las funciones polinómicas, racionales e irracionales se llaman funciones algebraicas.

Las funciones exponenciales, logarítmicas y circulares se llaman funciones trascendentes.

Otras funciones no incluidas en las anteriores (p.e. esas que tanto les gustan a nuestros profesores, y tan poco a nosotros: la parte entera, valor absoluto) se llaman funciones no elementales.

Continuidad de una función.

Una aproximación al concepto de continuidad de una función, se puede visualizar intentando dibujar la función sin levantar el lapiz del papel.

Expresado matemáticamente, se dice que la función y = f(x) es continua en el punto x = x₀si verifica que:

Una función, por lo tanto, puede no ser continua:

a) No existe f(x₀)

b) No existe el límite en ese punto,

c) f(x₀) no es igual al límite en ese punto.

Cuando una función no es continua en un punto se dice que es discontinua en ese punto.

Las discontinuidades pueden ser de dos tipos:

a) Discontinuidades de primera especie (cuando la función no existe en ese punto, o bien, cuando los límites laterales existen y son finitos, pero no son iguales

b) Discontinuidades de segunda especie (cuando los límites laterales tienden a infinito en ese punto).

Una función es continua en un intervalo cuando lo es en todos los puntos de ese intervalo.

¿Qué diferencia existe entre una función continua y otra uniformemente continua?

La continuidad es una propiedad local. Una función es continua si lo es todos sus puntos, es decir, la continuidad se define según lo que ocurre en el entorno de un punto.

Sin embargo, ser uniformemente continua es una propiedad global de la función.

Un ejemplo: La propiedad "ser rubio" es una propiedad individual (local). Decir, "los alemanes son rubios" no es correcto porque "ser rubio" es una propiedad individual y no todos los alemanes son rubios. Sin embargo, una propiedad como "la densidad de población" de un país es una propiedad global de un país, no es una propiedad local. Supongamos que la densidad de población de un país sea 5 hab/Km², el hecho de analizar 1 Km² no nos define si es cierta la propiedad o no, hemos de fijarnos en el país en su conjunto.

Composición de funciones:

Supongamos que el resultado de una función f se utiliza como entrada para otra función g. A esto se le llama composición de funciones y se representa así:

(g o f)(x).

Función inversa:

Una función es inversa de otra si una deshace la operacion que hizo la otra.

Dicho en términos matemáticos: f(x) y g(x) son inversas si cuando b = f(a), a = g(b)

La división es la operación inversa de la multiplicación. La suma es la operación inversa de la resta. Funcion par: Cuando f(x) = f(-x). La función y = x² es par pues se obtienen los mismos valores de y independientemente del signo de x. Función impar: Cuando f(x) = -f(-x) Función periódica: Cuando f(x+T) = f(x) Volver a página principal.