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Igualdades
En algunas manipulaciones algebraicas se multiplican expresiones completas.
Por ejemplo, se puede escribir
(a + b)c = ac + bc
Esto no es una ecuación sino una igualdad, una expresión
verdadera para cualquiera de los tres números (a,b,c). Por
ejemplo, si a = 3, b = 7, c = 5, tenemos
(3 + 7)(5) = (3)(5) + (7)(5) = 15 + 35 = 50
Si se efectúa primero la suma
(3 + 7)(5) = (10)(5) = 50
Las igualdades no añaden ninguna información sobre las
cantidades que contienen, porque son verdaderas cualquiera que sea su valor.
Sin embargo, son útiles para reorganizar las ecuaciones en formas
nuevas, más claras. La igualdad escrita arriba es una de las propiedades
básicas de los números ("la propiedad distributiva"). De
ella obtenemos una más general
(a + b)(c + d) = (a + b)c + (a + b)d
que además se puede disgregar y que se cumplen para cualquier
valor de (a,b,c,d). En particular
(a + b)2 = (a + b)(a + b) = (a + b)a + (a + b)b
= a2 + ba + ab + b2
= a2 + 2ab + b2
que es muy útil (puede comprobarlo para cualquier valor concreto
de a y b). De forma similar
(a - b) 2 = (a - b)(a - b) = (a - b)(a) + (a - b)(-b)
= a2 - ba - ab + b2
= a2 - 2ab + b2
De nuevo las dos últimas igualdades
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
se cumplen para cualquier valor de a y b, y, como podremos
ver, son muy útiles para demostrar el Teorema de Pitágoras. |
