|
¿Cuándo es menor? Cuando está ubicado a la
izquierda de otro en la recta numérica, es decir,
más cerca del 0. El símbolo que nos indica
menor que es:
<
¿Cuándo es mayor? Si está ubicado a la derecha
de otro en la recta numérica, es decir, está
más lejos del 0.
El símbolo matemático para indicar mayor que es:
>
Por ejemplo:
|
328 |
< |
856 |
y |
856 |
> |
328 |
|
Menor que |
Mayor que |
Las columnas de posición también sirven para comparar numerales. Así:
Es mayor el número que tiene más columnas de posición:
|
324,409 |
> |
32,449 |
> |
409 |
|
6 columnas |
5 columnas |
3 columnas |
Si los numerales tienen la misma cantidad de columnas, es necesario
revisar los dígitos que las forman desde la que tiene mayor valor,
es decir, la que está más a la izquierda. Es mayor el numeral que
tiene el dígito de más valor en esa columna. Si tienen el mismo
dígito, se compara con la columna que sigue. Analicemos:
|
42,726
|
>
|
27,426
|
>
|
23,426
|
>
|
17,332
|
|
Antecesor y sucesor |
|
Nuestro
sistema numérico forma dos conjuntos de números: los
naturales,
que se utilizan para contar y empiezan en el 1; y los
cardinales,
que sirven para determinar el número de elementos de un conjunto
y empiezan en el 0, porque hay conjuntos vacíos.
Ambos conjuntos numéricos son ordenados, porque hay un
antecesor
y un
sucesor
de cada numeral. En antecesor se obtiene restándole 1 unidad a
un número dado y el sucesor, sumándole 1 unidad a un número
dado.
|
Cardinales
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
|
Naturales
{1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
|
|
Son sucesiones de números que van avanzando o retrocediendo, en la
recta numérica, la misma cantidad de espacios. Así, hay secuencias
de 1 en 1; de 6 en 6, de 100 en 100, etcétera.
Observa:
30.402
- 30.502
- 30.602
- 30.702
- ...
En esta secuencia cambia la Centena, 1 cada vez; entonces va
avanzando de 100 en 100.
Hay una tabla que nos ayudará a hacerlo. Junto con ella,
aprovechemos y utilicemos nuestro dinero, que se relaciona con el
valor de cada columna:
|
Las monedas de .1¢
son Unidades
UNIDADES |
Las de .10¢ son
Decenas
DECENAS |
Los billetes de
$100 son Centenas
CENTENAS |
Los billetes de
$1000 serian Unidades de Mil
MILES |
Los billetes de
$10,000 serian Decenas de Mil.
DECENAS DE
MILES |
Veamos un ejemplo:
¿Cuántos billetes de $100 se necesitan para formar $50,000? $50,000
son 5 billetes de $10,000, es decir, 5 D.M., y cada billete de $100
es 1 C.
En la tabla quedaría:
El mundo de los dígitos
Cuando el hombre logró organizar un sistema de signos para contar, nació
lo que llamamos numerales.
La primera manifestación de símbolos numéricos
aparece alrededor de 2.000 años a.C. con los sumerios, en Asia Menor.
Sus conquistadores, los babilonios, continuaron con la misma utilización.
Toda civilización que alcanzó altos niveles de desarrollo, tuvo su
propio sistema de numeración.
Para que los signos formen un sistema numérico, deben cumplir con
algunos requisitos importantes, como son la posición, el valor y el
orden.
Los números romanos
El sistema numérico romano ha perdurado hasta hoy, utilizándose para
identificar siglos, indicar orden, en números de relojes y otras
aplicaciones. El sistema de numeración romano se basa en siete símbolos
y funciona con las siguientes reglas:
-
De repetición: se
pueden repetir hasta tres veces los símbolos I, X, C, M y sus
valores se suman. No se repiten ni anteponen los símbolos: V, L y D.
-
De adición: un
símbolo menor a la derecha de otro mayor, suma su valor a éste.
-
De sustracción: un
símbolo menor a la izquierda de otro mayor, resta su valor a éste.
Hay que recordar que:
-
I va sólo a
la izquierda de
V
ó
X,
-
X va sólo a
la izquierda de L
ó C y
-
C va sólo a
la izquierda de D
ó M.
|
·
De multiplicación:
una línea horizontal sobre un número, significa que ese número se
multiplica por 1.000.
Los siete símbolos en que se basa la numeración romana
¿Cómo
eran los números egipcios?
El
conocimiento de los métodos de cálculo de los egipcios y su aplicación
en distintos problemas proviene de las inscripciones talladas en piedras,
de los calendarios y sobre todo de algunos papiros. Entre los más
antiguos cabe destacar, especialmente dos: el papiro Golenischevse que
se conserva en Moscú y el papiro Rhind o de Ahmes que se halla en el
British Museum.
Los
estudios matemáticos en el Antiguo Egipto tuvieron un origen práctico.
Alcanzaron un gran nivel en las manipulaciones aritméticas pero sus
métodos eran toscos y sin grandes generalizaciones. Casi no hay
simbolismo y los egipcios eran poco dados a investigaciones abstractas.
Trabajaron sobre todo en geometría y aritmética.
Desde el tercer milenio A.C. los egipcios crearon un sistema de
numeración decimal, es decir contaban de 10 en 10, no tenían símbolo
para el cero y utilizaban los geroglíficos (ver glosario) de la figura
para representar los distintos ordenes de unidades.
El
procedimiento era de tipo aditivo, es decir, las cifras eran repetidas.
Así, por ejemplo, si el uno se escribía como una línea vertical, el
cuatro era representado como cuatro líneas verticales. Un signo no se
repetía más de nueve veces seguidas, ya que a la décima vez se utilizaba
el número siguiente.
Se
usaban tantos de cada uno cómo fuera necesario y se podian escribir
indistintamente de izquierda a derecha, al revés o de arriba abajo,
cambiando la orientación de las figuras según el caso.
Como
no importaba el orden, se escribían a veces según criterios estéticos y
solían ir acompañados de los geroglíficos correspondientes al tipo de
objeto (animales, prisioneros, vasijas etc.) cuyo número indicaban.
Pero
en un principio los egipcios escribían los nueve primeros números
colocando símbolos de la unidad, uno a continuación de otro; más tarde
utilizaron la representación por desdoblamiento mientras los arameos de
Egipto usaban un principio ternario (ver tabla).
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1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
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• |
•• |
••• |
•••• |
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•••
••• |
Estos signos fueron utilizados hasta la incorporación de Egipto al
imperio romano. Pero su uso quedó reservado a las inscripciones
monumentales, en el uso diario fue sustituido por la escritura hierática
y demótica (ver glosario), formas más simples que permitian mayor
rapidez y comodidad a los escribas.
En
estos sistemas de escritura los grupos de signos adquirieron una forma
propia, y asi se introdujeron símbolos particulares para 20,
30...90...200, 300...900, 2000, 3000... con lo que disminuye el número
de signos necesarios para escribir una cifra.
Estos jeroglificos numéricos estaban reservados a las inscripciones
sobre monumentos de piedra. Los escribas para realizar los documentos de
tipo administrativo, astronómico, etc., fueron simplificando el trazo
hasta obtener los llamados signos hieráticos. Por ejemplo el 20 en
notación jeroglífica se escribía  ,
mientras en hierática se denotaba mediante  .
El
escriba o calculador egipcio realizaba operaciones aritméticas
elementales, con números enteros y el uso casi exclusivo de fracciones
unitarias. El papiro de Rhind contiene al principio una tabla en la que
se expresan las fracciones de numerador 2 y de denominador impar entre 5
y 101, como suma de fracciones unitarias; con ellas efectuaban las
cuatro operaciones aritméticas con fracciones.
La
naturaleza de los números irracionales no llegó a reconocerse en la
aritmética egipcia. Las raíces cuadradas sencillas que aparecían en los
problemas se expresaban mediante números enteros y fracciones.
Contando hasta hoy...
Gracias a los árabes que se dedicaron al comercio
de productos de la India, fue posible la fusión del sistema numérico
árabe con el hindú. Pronto, esta combinación se utilizaría en toda
Europa, dando origen a nuestro actual sistema numérico. Por eso decimos
que su origen es indo-arábigo.
En nuestros días hay otro sistema numérico muy
utilizado, el binario,
que tiene como base los dígitos 0 y 1; con este sistema funcionan los
computadores. Cada caracter del teclado de un computador es una serie
irrepetible de ceros y unos. Los ceros indican a la unidad de control
que no pasa electricidad; y los unos, que sí hay impulsos eléctricos.
Nuestro sistema numérico
|
U
D
C
U.M
D.M
C.M
U.Mi
D.Mi
C.Mi |
=
=
=
=
=
=
=
=
= |
Unidades
Decenas
Centenas
Unidades de mil
Decenas de mil
Centenas de mil
Unidades de millón
Decenas de millón
Centenas de millón |
El sistema numérico que usamos actualmente es
decimal, porque se basa en diez cifras
llamadas dígitos, por su relación con el número de dedos de las
manos.
Los dígitos
son: {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
Con estos diez símbolos podemos formar cualquier numeral de nuestro
sistema.
En un numeral,
cada dígito tiene una posición y de acuerdo a ella es su valor.
Las columnas de posición son infinitas, porque
nuestro sistema ¡es infinito!
¡No existe el número mayor de todos!
Las columnas más utilizadas están identificadas en esta tabla de
columnas de posición.
El valor de posición de un dígito se obtiene multiplicándolo por una
potencia de 10 (10 - 100 - 1.000).
Te contaremos un secreto para saber por cuál de ellas se multiplica el
dígito dado: cuenta las cifras que están a la derecha del dígito
seleccionado y, de acuerdo a ellas, son los ceros que le colocas al 1
para completar la potencia de 10. Si para el número 5.320 quieres saber
el valor del 3, vemos que hay 2 cifras a la derecha de él; por lo tanto,
su valor es 3 por 100 y eso es 300.
En tanto que el valor del 5 es 5 por 1.000, ya que tiene 3 cifras hacia
la derecha; entonces, su valor es 5.000.
Y, ¡atención! Si lees el número lentamente, obtendrás el valor de cada
dígito sin hacer ninguna operación.
Si te fijas bien, para leer numerales vamos
separando cada tres
cifras con un punto que diferencia los millones, los miles y las
unidades.
Veamos un ejemplo:
25,216,054
Aquí leemos veinticinco millones doscientos dieciséis mil cincuenta y
cuatro
Relación de orden
Cuando hablamos de mayor y menor, nos referimos a
la característica de orden entre numerales. Observemos que, en nuestro
sistema, cada número tiene otro que le sigue y que se forma de sumarle 1
a él mismo. A este número así formado lo llamamos
sucesor. Por ejemplo,
para el número 97, su sucesor es
97 + 1 = 98.
¿Te das cuenta de por qué nuestro sistema es infinito?
¡Todo número tiene un sucesor y sólo uno!
También decimos que cada número tiene
antecesor, que se obtiene restando 1 del
número dado; entonces, para el número 54, su antecesor es 54 - 1 y esto
es 53.
Hay un número natural que no tiene antecesor: es
el 1; y en los cardinales,
el 0.
Hay dos conjuntos numéricos que debemos reconocer:
Conjunto de los nímeros naturales. Empieza en el 1.
{1,2,3,4,5,6,7,8,9...} |
Conjunto de los números cardinales y empiezan con el 0.
{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9...}
Los puntos (...) significan "y así sucesivamente"
|
Conocer las propiedades numéricas
En los seres humanos existen relaciones entre dos personas: Padre-hijo,
Madre-hija, hermano-hermana, amiga-amigo, etcétera; las propiedades
de los números se determinaron al establecer relaciones entre dos de
ellos. Tú ya conoces algunas relaciones como las de: mayor que (>),
menor que (< ), mayor o igual que y menor o igual que. También
identificas la relación de equivalencia igual que (=).
Ahora te invitamos a conocer otras relaciones.
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