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+ -
Adición(sumar)
y
Sustracción(restar):
dos operaciones básicas
Cambiemos los
terminos
suma por adición y
resta por sustracción
pero son =IGUALES
Cuando aplicas la adición en forma vertical, debes hacer coincidir las
columnas de posición de todos los sumandos. Recuerda que en cada columna las
cifras tienen diferente valor:
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UM |
C |
D |
U |
<---SI |
C |
D |
U |
|
5 |
2 |
1 |
6 |
NO---> |
8 |
0 |
6 |
|
+ |
|
4 |
9 |
+ |
|
4 |
|
Conviene hacer estimaciones de la suma, es decir, obtener aproximaciones
por medio del cálculo mental. Si los sumandos son 148 + 76, podríamos decir:
148 es casi 150 y 76 está muy cerca de 80, entonces la suma estaría cerca de
230.
¡Comprobemos!
148 + 76 = 224
Juguemos a detectives e investiguemos los sumandos: ¿Qué pasa si cambiamos
el orden de ellos?
142+74=216
74+142=216
La suma es la misma. ¡Hemos aplicado la propiedad conmutativa!
Ahora trata de sumar de una sola vez estos numerales:
4+8+5+9+3=
Estamos seguros de que no lo lograste y es más..., la calculadora tampoco
puede hacerlo.
Observa qué hace este práctico instrumento para obtener la suma: va sacando
la cuenta de
a dos numerales y coloca la suma de ellos en el visor, justo cuando
presionas el signo + para digitar el tercer numeral. ¡Pruébalo!
¿Sabes cómo llamamos a esto?
Propiedad asociativa.
Veamos lo que pasa si uno de los sumandos es 0.
25 + 0 = 25
Quedó el otro sumando como suma. Claro, porque el 0 es el elemento neutro
de esta operación. Y ésta es otra propiedad.
¿Habrá más propiedades? Sí, una más: operación cerrada. ¿Por qué? Porque
todas, absolutamente todas las adiciones entre cardinales, tienen solución.
Sustracción: ¡Cuántas veces decimos: me queda, me
falta, la diferencia...! Ahí nos referimos a la sustracción, una operación
que tiene como elementos:
|
16
- |
7 = |
9 |
| |
|
|
|
Minuendo |
Sustraendo |
Resta o diferencia |
La sustracción no es cerrada, porque no siempre tiene solución en los
números cardinales:
3 - 12 = ?
Sólo se puede resolver cuando el minuendo es mayor o igual que el
sustraendo.
Tenemos la siguiente sustracción: 12 - 3 = 9 Pero, ¿por qué es 9? Porque
9 + 3 = 12
Entonces, la sustracción es la operación inversa a la adición. Por eso,
para comprobar si la diferencia está correcta, sumamos la resta, más el
sustraendo y debemos obtener el minuendo.
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¿Será lo mismo? |
26
- 3 y |
3
- 26 |
|
¿Puedo
resolver? |
0
- 5 |
NO |
|
¿Tendrá solución? |
4
- 3 - 2 |
| |
La sustracción no tiene
propiedades |
Multiplicación y División:
Procesos matemáticos
Multiplicación: se
dice que es la abreviatura de la adición de sumandos iguales. Se la
relaciona con las palabras: producto, doble, triple o producto cartesiano de
conjuntos.
9 + 9 + 9 + 9 + 9
es lo mismo que 5 veces 9; es decir, 5 X 9
En la multiplicación hablamos de factores y producto; estos son sus
elementos:
|
4 X
7 |
=
28 |
|
Factor Factor |
Producto |
¿Hay alguna multiplicación que no tenga producto?
Todas lo tienen. ¡Es operación cerrada!
¿Importa el orden de los factores? No importa, porque ¡es conmutativa!
¿Se pueden multiplicar tres o más factores a la vez? Sólo se puede
multiplicar de a dos factores ¡es asociativa!
¿Tiene algún factor neutro?
El 1. Un ejemplo: 5x1 = 5
¿Y qué pasa con el 0?
42 · 0 = 0 ¡Es absorbente! ¡No deja nada! Se relaciona con otra operación?
Sí, con la adición.
Revisemos:
Andrea tiene dos recreos, y en cada uno compra dulces. En el primer recreo
compra 5 dulces de .20¢
y en el segundo, 3 dulces del mismo valor. Si queremos saber cuánto gastó,
hay dos caminos de solución:
A.-20*(5+3)
.20¢
cada dulce y compró en total 5 + 3, entonces .20¢
· 8 dulces = $1.60
B.-(20*5)+(20*3)
En el primer recreo gastó .20¢
· 5 dulces = 1.00 ; mientras que en el segundo, 20 · 3 = 60.
Si sumamos ambos resultados, da $1.60
El resultado fue el mismo; hemos experimentado la propiedad distributiva
de la multiplicación con respecto a la adición.
Esta propiedad puede ser tu "varita mágica" para hacer cálculos mentales
casi tan rápidos como la calculadora.
Pon atención: el desafío es multiplicar 23 · 102. Lo distribuiremos así:
¡rápido! ¿verdad?
Aquí va otro:
42 ·
101 =
42
· (100
+
1) =
4.200
+ 42
= 4.242
Y ¿qué me dices de éste?
68 ·
111 =
68
· (100
+ 10
+ 1) =
6.800
+ 680
+ 68 =
7.548
Hemos revisado seis propiedades de la multiplicación; ahora, revisaremos
casos muy singulares.
Observa esta multiplicación:
4
· 4
·
4.
El factor se repite. Hay una forma abreviada
de expresarla: y lo leemos como
 "cuatro
al cubo" o " 4 elevado a 3".
¿Cómo llamamos a esta expresión?
Es una potencia. Tiene base, que es el factor que se repite y exponente
que indica las veces que se repite.
¿Es lo mismo
que
 ?
No, 4 · 4 · 4 = 64, mientras que 3 · 3 · 3 · 3 = 81
¿Hay otras potencias? Las potencias de 10, que son muy especiales:
 =1
 =
100
 =
1.000.000
El valor de la base se compone del 1 seguido de ceros, pero ¿cuántos..?
Los que dice el exponente.
Utilizando estas potencias se ha podido determinar el valor numérico de una
forma diferente:
| 387
= 300 + 80 + 7
300 = 3 · 100
80 = 8 · 10 y 7 · 1 = 7,
entonces quedaría:
3 · 100 + 8 · 10 + 7 · 1 y en forma exponencial sería:
3 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100
|
División: Algunos piensan que esta operación es
egoísta, porque se relaciona con separar.
¡Al contrario! es una expresión clara de justicia. Ella se encarga de
repartir y lo hace siempre en partes iguales.
Sus elementos son:
Cuando una división no tiene solución, en el conjunto de los números
cardinales, aparece el resto o residuo.
¿Cómo sabemos si una división pertenece a los números cardinales?
Analicemos:
240 ÷ 12 = 20 porque,
20 · 12 = 240 ¡es una división exacta! Entonces sí pertenece a los
cardinales.
71 ÷ 9 = 7 ¿es 7 · 9 = 71?
¡no !
Entonces hay un resto de 8 que se pone debajo del dividendo. ¡Este resto nos
indica que es inexacta! Puedes usar este método para comprobar si tus
divisiones están correctas.
Observa esta división:
¿25 ÷ 0 = 0? no.
Porque 0 x 0 no es 25
¿25 ÷ 0 = 25? no.
Porque 25 · 0 no es 25.
¿Qué pasa? Muy simple, la división por 0 no existe. No existe nada que
tenga cero partes.
Operaciones combinadas...
Cada una de las operaciones cumple un propósito específico dentro del
cálculo matemático. Sin embargo, en muchas oportunidades aparecen
combinadas, ya sea con paréntesis o sin ellos.
-
Si no hay paréntesis, el orden de solución es:
potencias ->multiplicaciones
y divisiones ->adiciones
y sustracciones.
-
Si hay paréntesis, deben resolverse primero las operaciones que están en
su interior, siguiendo la prioridad ya vista. Y luego, las operaciones que
están fuera de él.
Por ejemplo:
Por último, queremos decirte algo muy importante:
Suma la alegría
donde vayas. Resta egoísmos y ambición. Multiplica la paz y la esperanza.
Divide entre todos el amor.
Ojalá éstas sean tus operaciones favoritas.
Tienen distintos nombres:
¿Cómo se llaman los números?
¿Sabías tú que el número tiene más de cien nombres, según su utilización
o estudio? Así lo revela el diccionario "Matemática", del profesor español
Francisco Vera.
En la sección correspondiente a "Número", el académico nos da a conocer las
distintas definiciones del apellido que, según la ocasión, lleva esa
palabra.
Por ejemplo, te entregamos tres:
Número nupcial, citado por Platón en un pasaje de su
libro "República". Se ha discutido mucho acerca de cuál pudo ser dicho
número, que se refiere a los "nacimientos felices o desgraciados de la vida
de los pueblos". Sobre él, los eruditos no han llegado a ponerse de acuerdo
entre sí, ni con los matemáticos.
Número sagrado, el que los antiguos creían que tenía
ciertas propiedades que contrarrestaban la maléfica influencia de los
números fatídicos.
Número negativo,
precedido por el signo - (menos). Nació de la necesidad de hacer posible la
sustracción cuando el minuendo es menor que el sustraendo.
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