Movimiento circular uniforme

Un caso particular de movimiento en dos dimensiones es el de una partícula que se mueve describiendo una trayectoria en una circunferencia, con velocidad . Si la rapidez V es constante, se llama Movimiento Circular Uniforme . En el mundo cotidiano, es frecuente observar las trayectorias curvas que describen algunos cuerpos en su movimiento continuo. Cuando una partícula se mueve según una trayectoria curva debe tener una componente de la aceleración perpendicular a dicha trayectoria, incluso si su rapidez es constante. Para una trayectoria circular existe una relación sencilla entre la componente normal de la aceleración, la rapidez de la partícula y el radio de la trayectoria. Un satélite espacial que gira en torno a la Tierra o el hecho de que ésta gire alrededor del Sol son ejemplos en una trayectoria circular. El objetivo es aprender a describir este tipo de movimientos.

Rueda mecánica

Definición
Movimiento Circular El movimiento circular está presente en la vida cotidiana en múltiples elementos que giran como motores, manecillas del reloj, engranajes, looping de las montañas rusas y las ruedas son algunos ejemplos que lo demuestran.	Montaña Rusa
	Para estudiar un movimiento como éste es necesario definir el vector velocidad en cada instante; Se debe conocer su módulo o magnitud, la dirección de que es la recta tangente a la trayectoria en el punto que la partícula ocupa en el instante considerado, y su sentido es del movimiento de la partícula en ese instante.
El sentido y dirección de cambian constantemente ya que varían la dirección y sentido de la tangente a la curva. Un cuerpo se moverá según una trayectoria curva, siempre y cuando la aceleración existente en el cuerpo tenga una componente perpendicular a la dirección del movimiento.
Esta aceleración perpendicular a la velocidad se denomina aceleración centrípeta () y está siempre dirigida hacia el centro de la trayectoria. Esta aceleración también suele recibir el nombre de aceleración radial< o aceleración normal<, pues tiene la dirección del radio de curvatura de la trayectoria en el punto dado, y apunta hacia el centro de la curva.
Auto de fórmula 1	Ahora en el caso de un automóvil que entra en una curva con una velocidad cuya magnitud va en aumento, se puede afirmar que el automóvil posee dos aceleraciones, la aceleración centrípeta (pues cambia la dirección de ) y además una aceleración tangencial (), que caracteriza la variación de . La aceleración tangencial () es un vector con la misma dirección de .
Si una partícula está moviéndose por una curva cualquiera posee una aceleración instantánea cuyas componentes son: la aceleración normal () de dirección perpendicular y otra tangencial () de dirección igual a la de , la velocidad de la partícula cambia tanto en dirección y sentido como en módulo.
	Movimiento Circular Uniforme Un objeto físico realiza un movimiento circular uniforme cuando describe circunferencias de radio determinado con rapidez constante. Es decir, el objeto físico recorre en la circunferencia arcos iguales en intervalos de tiempos iguales, sean estos tiempos grandes o pequeños. Son ejemplos de movimiento circular uniforme los siguientes: El movimiento del electrón que gira entorno al núcleo del átomo de hidrógeno; El movimiento de la Luna alrededor de la Tierra; El movimiento de una partícula dispuesto sobre el plato de un tocadiscos; El movimiento de un objeto cualquiera que permanece fijo sobre la superficie de la Tierra, pues esta rota uniformemente alrededor de su eje.
Si se hace girar una piedra atada al extremo de una cuerda. Si además de eso, el módulo de la velocidad permanece constante se afirma entonces que la piedra está dotada de un movimiento circular uniforme (MCU) . Por lo tanto en este movimiento la velocidad tiene magnitud constante, pero su dirección varía en forma continúa.
Período (T)   Frecuencia (f ) Es el tiempo que la partícula tarda en dar una vuelta completa. En el MCU el período siempre es constante. ; Por ejemplo si el período de un movimiento circular es T = 2 seg, quiere decir que la partícula en su movimiento tarda 2 segundos en dar una vuelta completa. Es el número de vueltas o revoluciones que da la partícula en movimiento por unidad de tiempo. ; Evidentemente, si T< es constante en MCU<., la frecuencia también lo será.
	El período y la frecuencia son valores inversos, es decir: Las unidades de T son unidades de tiempo (seg), las unidades de f son las inversas de tiempo y se describen seg-1 .También es de uso frecuente revoluciones por minutos (r.p.m o rev/min), revoluciones por segundos (r.p.s o rev/seg) para referirse a la frecuencia. Una revolución = 1 rev = 2p rad. Otra unidad de uso frecuente es el Hertz (se abrevia Hz), que expresa el número de vueltas por segundo.

 

Velocidad tangencial y velocidad angular
Velocidad Tangencial o Lineal En un MCU la velocidad tangencial cambia continuamente de dirección y sentido, pero la rapidez es constante porque la longitud del vector velocidad tangencial no varía. Si se tiene un objeto físico cualquiera que describe circunferencias de centro O y radio r, con MCU en el sentido contrario del movimiento de las agujas del Reloj, la velocidad tangencial o lineal es aquella que tiene el objeto físico en un instante cualquiera del movimiento circular.
	Se representa por un vector tangente a la circunferencia en el punto que se considere. Se puede observar que en el MCU la velocidad tangencial o lineal no es constante, pues el vector que representa dicha velocidad cambia continuamente de dirección y sentido. El módulo de la velocidad tangencial en MCU se mide por el cociente entre el arco descrito por el móvil y el tiempo empleado en recorrerlo.
Si el móvil parte de A y da una vuelta completa, d = 2.p.r (Longitud de la circunferencia) y si da n vueltas. 2.p.r.n. Si este arco es descrito en un tiempo t. Esta velocidad se expresa simplemente como V que no es más que la velocidad debida al movimiento de traslación de la partícula.
Velocidad Angular Se considera un objeto físico que describe circunferencias de centro O y radio r con MCU. Si en un intervalo de tiempo t el objeto físico pasa de la posición A a la posición B describiendo el arco AB y el radio r barre el ángulo . Como tiene su vértice en el centro de la circunferencia, se cumple que la medida del ángulo es igual a la medida del arco AB.
Por consiguiente, si el objeto físico describe áreas iguales, se tendrá que el radio r barre ángulos iguales en tiempo iguales, por lo que se habla de una Velocidad Angular del objeto físico. Una característica que distingue a este tipo de movimientos es que el ángulo que recorre una partícula por unidad de tiempo es constante, por lo que su velocidad angular es constante.
	La velocidad angular en un movimiento circular uniforme se mide por el cociente entre el ángulo recorrido por el radio y el tiempo empleado en barrerlo. Designando la velocidad angular por la letra griega ? (omega) se tiene = Angulo recorrido por el radio. t = Tiempo empleado en recorrer dicho ángulo. El ángulo puede medirse en grados o en revoluciones ( 1 Rev. = 360º ), o también en cualquier otra unidad de medida angular. En Física es de mucho uso medir los ángulos en la unidad llamada Radián.
Un Radián es un ángulo central de una circunferencia que intercepta un arco de dicha circunferencia, cuya longitud es igual al radio de la misma. Si se quiere determinar a cuántos radianes equivale un ángulo cualquiera basta calcular cuantas veces cabe la longitud del radio en la longitud del arco. Si la longitud del arco es L y la longitud del radio es r se tiene que: Como la longitud de una circunferencia es L = 2p.r = 2p. rad ; Pero una circunferencia tiene = 360º de ésta última relación se obtiene que: 1 rad = 360/2p = 57º 17' 45´´ Teniendo presente que 2p rad = 360º puede establecerse una relación útil para medir la velocidad angular en rad/seg . (Esquema Tabla de ángulos Grados-Rad)
Para que la velocidad angular quede perfectamente definida se tiene que conocer su dirección y sentido. La dirección de está dada por la dirección del eje de rotación o una recta cualquiera paralela a él y su sentido se asume positivo si el cuerpo gira en sentido contrario a las agujas del reloj, y negativo si lo hace en el mismo sentido de las agujas del reloj. Este sentido se obtiene mediante una convención: se coloca la mano derecha, de tal manera que el pulgar extendido coincida con el eje de rotación y los otros cuatro dedos indiquen el sentido del movimiento del cuerpo; el sentido de .
El vector así definido es la velocidad angular Cuanto mayor sea la velocidad angular del movimiento circular de una partícula, tanto mayor será el ángulo que barre el radio vector de la partícula por unidad de tiempo; es decir, estará girando con mayor rapidez.
	Otra manera de evaluar la velocidad angular, consiste en considerar que la partícula realiza una vuelta completa o revolución. En este caso el ángulo descrito será y el intervalo de tiempo será de un período, o sea , así: Como el ángulo se mide en radianes, en grados o en vueltas y el período se mide en segundos, las unidades de serán: Grados/seg; rad/seg; revolución/minuto.
Se observa que la expresión de la rapidez angular depende exclusivamente de T; luego, quiere decir que esta velocidad es la misma para todos los puntos que están en rotación alrededor del eje y que en cualquier situación la velocidad angular es un vector.
Relación entre el módulo de la Velocidad tangencial y la velocidad angular. Observe que la velocidad lineal es: ; como: Es la velocidad angular, se concluye que: V = w. r. La rapidez tangencial de una partícula que describe circunferencias con MCU es igual al producto de la rapidez angular por el radio de la circunferencia descrita por la partícula.
Ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial en función del período y la frecuencia Las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial de un MCU son respectivamente:
;
Si en cualquiera de estas ecuaciones se hace n = 1 vuelta se tendrá que t = T. Sustituyendo se obtiene las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez tangencial en función del período T:
;
Como f = 1/ T, al sustituir se obtiene las ecuaciones de la rapidez angular y rapidez circular en función de la frecuencia f:
w = 2p.f   ; V = 2p.f.r
	Ejemplo 1 La rueda de un motor gira con rapidez angular w = 500 rad/seg. a)  ¿Cuál es el período? b)  ¿Cuál es la frecuencia?
Solución: a) La velocidad angular en función del período es: b)  La frecuencia es el inverso del período.
Ejemplo 2 Un estudiante de Física hace girar una pelota con MCU en un círculo de 50 cm. de radio. El círculo está a una altura de 2 m sobre el piso. Repentinamente la cuerda se rompe y la pelota sale despedida horizontalmente cayendo en el piso a una distancia de 10 m del punto donde se rompió la cuerda. ¿Con que rapidez angular estaba volando la pelota?
Solución: El estudiante debe notar que la pelota experimenta dos tipos de movimientos, primero un movimiento circular uniforme y luego un movimiento de proyectiles. El origen del sistema de referencia se escoge en el punto cero. Para obtener la rapidez angular con que rota la pelota se usa la ecuación ; (Ec. 1) Donde: V es la rapidez tangencial con que se mueve la pelota mientras gira (que es la misma rapidez con que sale despedida cuando se rompe la cuerda) . r es el Radio de la trayectoria Circular. Para obtener V se usa el hecho de que la piedra experimenta también un movimiento parabólico   (Ec. 2) (Ec.3) Con X0 = 0; Y0 = 2m; V0x = V ; V0y = 0 Donde Al tomar Y = 0 la pelota toca el piso y al despejar el tiempo de la ecuación: (Tiempo que tarda la pelota en tocar el piso desde que se rompió la cuerda.) Si se sustituye este tiempo en la Ec.2 y si se toma x= 10 m se tiene que:   Luego por la Ec.1: w = 33,4 Rad/Seg = 33,4 Seg-1

Aceleración centrípeta
Se ha establecido que en el movimiento circular uniforme hay una variación en la dirección y sentido de por lo que existe una variación de la velocidad en un tiempo ; luego hay una aceleración que se denomina aceleración centrípeta o normal, como la magnitud de la velocidad permanece constante la partícula no poseerá aceleración tangencial.
	Observe el P1 es la posición de la partícula en el tiempo t, y P2 su posición en el tiempo t + de la partícula que se mueve con MCU. Sean y sus velocidades lineales o tangenciales en las posiciones P1 y P2 , respectivamente. Se observa que el tamaño de los vectores y son iguales, queriendo significar con esto que tienen igual magnitud ya que la rapidez es constante; pero es obvio que las direcciones y sentidos de y son diferentes.
Sin embargo, por ser dichas velocidades tangentes a las trayectorias en dichos puntos, (y ) serán perpendiculares a los vectores de posición en los puntos P1 y P2 , respectivamente. La longitud de la trayectoria recorrida durante el intervalo es la longitud del arco P1 P2, que es igual a: , siendo r el radio de la circunferencia, pero dicha longitud recorre con una rapidez constante V, luego
teorema “ Si dos rectas forman un ángulo , las perpendiculares a ellas al cortarse deben formar el mismo ángulo ”	El ángulo que forma y - es igual a , (abertura del ángulo central). Se traslada el vector cambiando su sentido. De manera que su origen coincida con el vector . En la figura se señala que el vector ( - ) que apunta hacia el centro de la circunferencia. Es decir, la misma dirección del radio vector; este vector junto con y - forman un triángulo isósceles, siendo el ángulo el punto de concurrencia del extremo final de y el origen del vector -. El cambio de velocidad, al moverse la partícula de P1 y P2, ha ocurrido en el tiempo .
Se considera los triángulos OP1 P2 y el formado por los vectores - , y ; dichos triángulos son semejantes porque ambos son isósceles y tienen un mismo ángulo en el vértice. Para cuando P1 se aproxima a P2, es decir, en el caso de que tienda a cero, en virtud de dicha semejanza, se puede establecer la siguiente proporcionalidad:
	Como Los módulos de y son iguales a V se tiene: donde: El primer término de la relación significa la variación de la rapidez por unidad de tiempo, que no es más que el módulo de una aceleración, que en el caso particular del movimiento circular se denomina aceleración centrípeta y se escribe:
Dicha relación se obtuvo haciendo aproximación para cuando tiende a cero. Y por lo tanto esta aceleración será una aceleración instantánea, que como V es constante (módulo de ) y r también lo es, la aceleración centrípeta también será constante en módulo durante todo el MCU. Otra fórmula se puede escribir si se sustituye a V= w.r;
	La aceleración centrípeta por ser un vector, está definida cuando se conoce su dirección y sentido. Se observa que por ser la dirección y sentido de la aceleración centrípeta, los mismos que los del vector se concluye que la dirección es radial y de sentido hacia el centro de la trayectoria en cada punto de ella. Se puede notar que la velocidad y la aceleración , en cada punto de la trayectoria son perpendiculares. La aceleración centrípeta por tener la misma dirección del radio del círculo, también se denomina aceleración normal; dicha aceleración, como se ha dicho anteriormente, es consecuencia de la variación de la dirección de la velocidad en un lapso de tiempo.
Como el módulo de la velocidad en MCU es:     ; luego Las unidades de aceleración centrípeta son las mismas que las de una aceleración que proviene de un cambio de magnitud de la velocidad: Por consiguiente, las unidades pueden ser, entre otras m/seg2, pies/ seg2, cm/ seg2, Km/h2.
Ejemplo 3 La Luna gira alrededor de la Tierra, efectuando una revolución completa en 28 días. Supóngase que la orbita sea circular y que tiene una distancia a la Tierra de 3,85X108m. a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad tangencial (m/seg)? b) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración Centrípeta (m/seg2)?
Solución a)  El tiempo que tarda en dar una revolución completa se llama período y es T= 28 días = 2419200 seg. b)  La aceleración centrípeta es:
	Ejemplo 4 La República Bolivariana de Venezuela puede considerarse situada en la zona ecuatorial de la Tierra. (Radio de la Tierra de 6370 Km).
Calcular a)  ¿Cuál es la rapidez angular de una persona en Venezuela en relación al movimiento rotatorio de la Tierra? b)  ¿Cuál es el módulo de la velocidad tangencial o lineal? c)  ¿Cuál es la aceleración centrípeta que experimenta cualquier cuerpo situado en Venezuela? Solución a)  La Tierra da una vuelta completa en un tiempo de 24 horas describiendo por lo tanto un ángulo de 2p radianes. b) c)
Ejemplo 5 Calcular la rapidez angular, la velocidad tangencial y aceleración centrípeta para la Traslación de la Tierra en torno al Sol.
Solución La Traslación de la Tierra en torno al Sol se completa en un año (365 días) y la distancia media de la Tierra al Sol es aproximadamente de 150 x 106 Km = 1,5 x 1011m. Rapidez Angular Velocidad Tangencial Aceleración Centrípeta