Ley Gravitación

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L a G r a n E n c i c l o p e d i a I l u s t r a d a d e l P r o y e c t o S a l ó n H o g a r

Ley de gravitación universal

Después del enunciado de las leyes del movimiento, la segunda contribución de Isaac Newton (1642-1727) a la física fue la formulación de la Ley de Gravitación Universal. Esta ley predice la interacción atractiva entre dos cuerpos, planetas o pequeñas partículas, la cual produce un movimiento que concuerda con la descripción dada por las leyes de Kepler. El descubrimiento realizado por Newton de la Ley de Gravitación Universal implica que todos los objetos se atraen unos a otros con una fuerza directamente proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de su distancia. Al someter a una sola ley matemática los fenómenos físicos más importantes del universo observable, Newton demostró que la física terrestre y la física celeste son una misma cosa. El objetivo es entender que la gravedad es universal.

Introducción
El movimiento de los cuerpos celestes ha intrigado al hombre desde los albores de la civilización. Tal vez uno de los procesos más interesantes de la historia de la ciencia haya sido la evolución del entendimiento del movimiento planetario. Johannes Kepler(1571-1630), Astrónomo y Matemático alemán, adoptó el sistema planetario heliocéntrico, propuesto por Nicolás Copérnico (1473-1543), como modelo superior al sistema geocéntrico tolemaico del sistema solar aceptado en su tiempo. En su búsqueda de regularidades en el movimiento planetario, Kepler analizó cuidadosamente, las observaciones astronómicas del danés Tycho Brahe (1546-1601), descubriendo las tres leyes que obedecen los planetas en su movimiento alrededor del Sol.
Kepler, quien era ayudante de Brahe, obtuvo los datos astronómicos de este último y desarrolló un modelo matemático para el movimiento de los planetas. Después de muchos cálculos laboriosos Kepler descubrió que los datos precisos de Brahe en relación con la rotación de Marte alrededor del Sol eran la clave de la respuesta. Las leyes de Kepler. Sirvieron de base cinemática para la ley de la gravitación de Newton.	Kepler
	Las leyes de Kepler se enuncian de la manera siguiente: 1) Los planetas describen órbitas elípticas en uno de cuyos focos se encuentra el Sol. 2) El segmento de recta que une el centro del Sol con el centro de cualquier planeta barre áreas iguales de su elipse en tiempos iguales. 3) Los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son directamente proporcionales a los cubos de sus distancias medias al Sol. ( T² = C.R³) Donde C es una constante de proporcionalidad que tiene el mismo valor para todos los planetas.
Newton demostró que estas leyes son las consecuencias de una fuerza única que existe entre cualesquiera dos masas. La ley de gravitación universal fue formulada por Newton en 1666, pero no se publicó hasta 1687, cuando apareció como un capítulo en su monumental obra Principia Mathematica Philosophiae Naturalis
La ley de la gravedad de Newton, junto con su desarrollo de las leyes del movimiento brinda las bases para la solución matemática completa del movimiento de planetas y satélites. La ley describe las fuerzas que aparecen debido a las masas de los objetos. Dichas fuerzas son consecuencias de la interacción gravitacional. Una de las fuerzas más importantes que actúa entre dos cuerpos cualesquiera, sobre todo si uno de ellos tiene una gran masa como el planeta Tierra, es la fuerza de gravedad; dicha fuerza mantiene a cuerpos celestes, como los planetas en sus órbitas, a la vez que afecta los objetos que se lanza en la superficie de la Tierra.
	La manzana que cae La idea de que la gravedad se extiende por todo el universo se debe al físico inglés Isaac Newton. Según cuenta la leyenda, Newton concibió esta idea cuando estaba sentado bajo un árbol de manzano pensando en las fuerzas de la naturaleza. Newton entendía el concepto de inercia que Galileo había introducido años antes; sabía que en ausencias de fuerzas externas los objetos en movimiento persisten en su estado de movimiento en línea recta con rapidez constante. Sabía que todo cambio en la rapidez o dirección de un objeto se debe a la acción de una fuerza.
Una manzana madura propició lo que habría de convertirse en una de las generalizaciones de mayor alcance de la mente humana. Newton vio caer la manzana, o quizás incluso la sintió sobre su cabeza... la historia no es clara al respecto. Tal vez miró hacia arriba, a través de las ramas del manzano, y vio la Luna. Newton había estado reflexionando acerca del hecho de que la Luna no describe una trayectoria recta, sino que gira alrededor de la Tierra, y sabía que un movimiento circular es un movimiento acelerado, lo que implica la presencia de una fuerza.
¿Pero cuál era esta fuerza? Newton tuvo la perspicacia de comprender que la fuerza que actúa entre la Tierra y la Luna es la misma fuerza que tira de las manzanas y de todas las cosas del universo. A partir de este análisis, Newton, hizo el audaz enunciado de que la ley de fuerza que gobierna el movimiento de los planetas tienen la misma forma matemática que la ley de fuerza que atrae una manzana que cae hacia la tierra Esta fuerza es la fuerza de gravedad.
	La luna que cae Newton llevó esta idea más lejos. Comparó la manzana que cae con la Luna que cae. Newton se percató de que si la luna no cayese, se movería en una trayectoria recta alejándose de la Tierra. La idea de Newton era que la Luna caía alrededor de la Tierra. Así, la Luna cae en el sentido de que cae por debajo de la línea recta que describiría si sobre ella se ejerciera fuerza alguna. Newton formuló la hipótesis de que la Luna no era sino un proyectil girando alrededor de la Tierra por la atracción de la gravedad.
Newton comparó el movimiento de la Luna con el de una bala de cañón disparada desde la cima de una montaña elevada y que la cima estaba por encima de la atmósfera terrestre para que la resistencia del aire no frenase el movimiento de la bala. Si la bala era disparada con una rapidez horizontal pequeña describiría una trayectoria parabólica y pronto caería a tierra. Si su rapidez inicial fuese mayor, la curvatura de su trayectoria sería menor y caería a tierra más lejos. Si la bala de cañón se disparase con la rapidez suficiente, concluyó Newton, la trayectoria parabólica se convertiría en un círculo sobre el que la bala se movería durante un tiempo indefinido. Es decir se pondría en orbita.
Tanto la bala de cañón en orbita como la Luna tienen una componente de velocidad paralela a la superficie de la Tierra. Esta rapidez lateral, llamada velocidad tangencial, es suficiente para garantizar que el movimiento se efectuará alrededor de la Tierra y no hacia la Tierra. Si no hay resistencia que reduzca su rapidez la Luna “cae” alrededor indefinidamente.
	La idea de Newton parecía correcta. Pero para pasar del rango de hipótesis al de teoría científica tendría que ser probada. La prueba de Newton consistió en comprobar que la “caída” de la Luna por debajo de su trayectoria recta estaba en la proporción correcta respecto a la caída de una manzana o de cualquier objeto en la superficie terrestre. Newton pensaba que la masa de la Luna no afectaría su caída del mismo modo que la masa no afecta la aceleración de los objetos en caída libre cerca de la superficie de la Tierra. La distancia recorrida por la Luna y por la manzana al caer debería depender solamente de sus respectivas distancias al centro de la Tierra.
Para entonces ya se sabía que la Luna estaba 60 veces más lejos del centro de la Tierra que una manzana en la superficie de la Tierra. La manzana recorre casi 5 m durante el primer segundo de caída o más precisamente 4,9 m. Newton pensaba que la distancia “diluía” la atracción de la Tierra. La influencia de la gravedad se diluye 1/60 de 1/60, es decir, 1/(60)² de 4,9 m, es decir, 1,4 mm. Valiéndose de la geometría, Newton calculó cuánto se aleja el círculo de la órbita de la Luna de la distancia en línea que ésta recorrería en un segundo de no haber gravedad. La distancia tenía que ser de 1,4 mm.
Resulta que Newton usó en sus cálculos un dato erróneo. Cuando por fin volvió al problema de la Luna a instancias de su amigo el astrónomo Edmund Halley (célebre por el cometa Halley ) y usó el dato correcto, obtuvo resultados que concordaban de manera excelente con la observación.
	La Tierra que cae La teoría de Newton de la gravitación confirmó la teoría copernicana del sistema solar. Ahora estaba claro que la Tierra y los planetas giran alrededor del Sol de la misma manera en que la Luna gira alrededor de la Tierra. Los planetas “caen” continuamente hacia el Sol describiendo orbitas cerradas. ¿Por qué no caen los planetas dentro del Sol? Debido a sus velocidades tangenciales. ¿Qué ocurriría si sus velocidades tangenciales se redujeran a cero? La respuesta es muy simple: adquirirían un movimiento en línea recta hacia el Sol y, de hecho chocarían con él.
Newton concluyó que la fuerza de atracción observada debía ser un fenómeno general (universal) y que se manifiesta entre dos objetos materiales cualesquiera. Quiere decir que entre tu compañero y tú, entre el escritorio y tú, entre el libro y tú, existe una fuerza de atracción. Surgió de esta manera la idea de gravitación universal.

Ley de gravitación universal

Newton no descubrió la gravedad. Lo que Newton descubrió es que la gravedad era universal. Todos los objetos tiran unos de otros en una forma espléndidamente simple en la que sólo intervienen la masa y la distancia. La Ley de la gravitación universal de Newton dice que todo objeto atrae a todo los demás objetos con más fuerza que, para dos objetos cualesquiera, es directamente proporcional a las masas. Cuanto mayor sean las masas, mayor será la fuerza de atracción que ejerce una sobre otra.

Newton dedujo que la fuerza disminuye como el cuadrado de la distancia que separa los centros de masa de los objetos. Se puede expresar la proporcionalidad de la ley de la gravitación universal como una ecuación exacta introduciendo la constante de proporcionalidad G, llamada Constante de la Gravitación Universal.

Para obtener una ecuación que permita medir la fuerza gravitatoria suponga que el Sol, de masa M atrae un planeta, de masa m con una fuerza de módulo F, siendo R la distancia que separa los centros del Sol y el planeta.
Si la velocidad angular del planeta es w y su período de revolución alrededor del Sol es T, se tiene que la aceleración centrípeta del planeta es:

(1)

De acuerdo con la Segunda Ley de Kepler: T² = C.R³ Sustituyendo en (1) queda:

(2)

La fuerza con que el Sol atrae el planeta es, en módulo:

F = m.a_cO sea:

(3)

Puesto que 4 p² / C es constante, esta ecuación dice que la fuerza con que el Sol atrae al planeta es directamente proporcional a la masa de éste e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia entre el Sol y el planeta.
En otras palabras:

Como el planeta atrae al Sol con una fuerza del mismo módulo, también F es directamente proporcional a M y se escribe:

. Newton demostró que esta ley es también válida para calcular la fuerza con que se atraen entre sí los planetas y general dos objetos físicos cualesquiera.

La expresión matemática de la ley de Gravitación Universal:

F = Fuerza de atracción entre los cuerpos.
m₁ y m₂= masas de los cuerpos en kilogramos.

d = Distancia entre los centros de las masas

La magnitud de G está dada por la magnitud de la fuerza entre dos masas de 1 kilogramo separadas por una distancia de 1 metro, o sea, 0,0000000000667 Newton. La ley de Gravitación Universal establece:
Todos los cuerpos del universo atraen a todos los demás con una fuerza cuyo valor es proporcional al producto de sus masas e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.

De acuerdo con la Ley de Gravitación Universal, el Sol atrae a la Tierra, y ésta, a su vez, atrae al Sol con una fuerza de igual magnitud. La Tierra atrae a los hombres y las rocas hacia abajo, pero los hombres y las rocas atraen a la Tierra hacia arriba. Tal vez te parezca extraño que una piedra atraiga a la Tierra con la misma fuerza con que la tierra atrae a la piedra, pero así es. Recuerda los efectos del Par de acción y reacción son diferentes: la fuerza que la Tierra aplica a la piedra la afecta en su movimiento; en cambio, la fuerza que la piedra aplica a la Tierra casi no la afecta debido a la gran masa de esta última.

Newton para poder aplicar su fórmula a los enormes cuerpos celestes, tales como la Tierra, el Sol, tuvo que probar primero que la distancia d se refería a la distancia entre los centros de los cuerpos, lo cual se podía hacer fácilmente debido a la esfericidad de los planetas y el Sol, en los cuales las masas estaban distribuidas uniformemente alrededor del centro, es decir objetos puntuales.

No fue sino hasta casi 100 años después que Newton presentó sus trabajos, cuando la constante G fue medida por primera vez por el físico inglés Henry Cavendish (1731-1810), y comprobar, en forma experimental, que la gravitación es en realidad un fenómeno universal. Cavendish determinó el valor G midiendo por medio de una balanza de torsión extremadamente sensible a la diminuta fuerza que se ejercía entre dos masas de plomo.
La balanza de torsión estaba constituida por una varilla, suspendida de un alambre delgado. En el extremo de dicha varilla había dos masas iguales m que podían girar.

Al acercar a estas masas dos esferas más grandes y masas M, Cavendish comprobó que la barra giraba produciendo una torsión en el alambre fino que la sostenía. Este hecho mostró que realmente existe una atracción entre las masas m y M.

Mediante la balanza, Cavendish midió la fuerza de atracción entre las esferas que intervenían y la distancia entre ellas, pudiendo de esta manera calcular el valor de la constante G.
El valor de G es muy pequeño y a esto se debe que la atracción gravitatoria entre los objetos “comunes”, es prácticamente despreciable, y solo se puede detectar con instrumentos muy sensibles.

Más tarde, Philip von Jolly ideó un método más simple, que consistía en fijar un recipiente esférico de mercurio a uno de los brazos de una sensible balanza. Después de poner la balanza en equilibrio, se colocaba una esfera de plomo de 6 toneladas debajo del recipiente de mercurio. La esfera tiraba ligeramente de él hacia abajo. La fuerza gravitacional entre el mercurio y el plomo era igual al peso que se debía colocar en el otro brazo de la balanza para restablecer el equilibrio. Las cantidades F, m₁, m₂ y d eran conocidas, de modo que podía calcularse el cociente G;

El valor de G expresa que la fuerza de gravedad es una fuerza muy débil. Es la más débil de las tres fuerzas fundamentales conocidas hasta la fecha. (Las otras son la fuerza electromagnética y nuclear). La gravedad se hace notable únicamente cuando intervienen masas semejantes a la de la Tierra. La fuerza de atracción entre tú y un Trolebús en el que estés parado es demasiado débil para ser medida por métodos ordinarios. La fuerza de atracción entre tú y la Tierra, empero sí se puede ser medido: se trata de tu peso.

Además de depender de tu masa, tu peso también depende de la distancia a la que te encuentres del centro de la Tierra. Tu masa es igual en la cima de una montaña que en cualquier otro sitio, pero tu peso es ligeramente menor que al pie de la montaña; esto se debe a que encuentras a una distancia mayor del centro de la Tierra.

Una vez determinado el valor de G fue fácil calcular la masa de la Tierra.
La fuerza que ejerce la Tierra sobre una masa de 1 kilogramo que se encuentra sobre su superficie es de ( F = 9,8 newtons). La distancia entre la masa de 1 kilogramo y el centro de masa de la Tierra es el radio terrestre ( d = R_T= 6,4 X 10⁶ metros).
Por lo tanto, de F = G.(m₁.m₂ / d²); de donde la masa de la Tierra es m₁ = M_T, M_T = 6 X10^2⁴ kilogramos.

Un hecho importante es que la fuerza gravitacional ejercida por una distribución de masa simétricamente esférica de tamaño finito sobre una partícula fuera de la esfera es la misma como si toda la masa de la esfera tuviera concentrada en su centro.

La fuerza ejercida por la tierra sobre una partícula de masa m en la superficie tiene la magnitud

; donde M_T es la masa de la Tierra y R_T, es el radio de la Tierra. Esta fuerza está dirigida hacia el centro de la Tierra

Teoría de la gravedad

La aceleración de gravedad de un objeto es la aceleración que éste adquiere cuando la fuerza de gravedad es la única fuerza que actúa sobre él. Si se considera un objeto de masa m en un punto de la superficie de la Tierra, suponiendo que ésta es perfectamente esférica de radio

R_T.

;

Donde M_T= = 6,0X10^2⁴ kilogramos, es la masa de la tierra.
El peso del cuerpo es igual a la fuerza de atracción gravitatoria y su valor es : P = m.g
En donde g es la aceleración de gravedad igualando el peso y la fuerza de atracción son los mismos, se

tiene:

; que al simplificar resulta en módulo:

g = 9,8 m/seg²

El valor numérico de

variará lógicamente de un lugar a otro en la Tierra, debido a las variaciones de elevación, el valor local de la densidad de la Tierra etc. Todo esto se debe a que la Tierra no es perfectamente esférica para que

sea constante debería serlo la masa de la Tierra y su radio. Como en la práctica la masa de la Tierra no varía, pero la distancia de cualquier punto situado sobre la superficie terrestre con respecto al centro de la Tierra si cambia es fácil deducir que

no es constante, ésta varía en un punto a otro sobre la superficie terrestre y como consecuencia de ello, debido a que el peso es dependiente de

, necesariamente el peso de un cuerpo cambia de un punto a otro sobre la superficie de la Tierra .

Existen diferencias entre la constante de gravitación universal G y el valor de la aceleración de la gravedad

. Mientras la primera es un escalar, universal y constante; la segunda es un vector, no es universal ni constante.

Gravedad y distancia
Cuando una cantidad varía como el inverso del cuadrado de la distancia a su origen se dice que se rige por una ley del inverso cuadrado. Esta ley es válida para la disminución de la intensidad de la gravedad con la distancia.
Cuanto mayor sea la distancia a la que un objeto se encuentre del centro de la Tierra, menor será su peso. Si tú pesas 600 Newton al nivel del mar, pesarías sólo 598 newton en la cima del Monte Everest (8,848 m). Pero por más que se aleje de la Tierra su gravedad nunca se hace cero.

Aun si te transportaras a los confines más remotos del universo, la influencia gravitacional de la Tierra seguiría afectándote. Quizá sea demasiado pequeña comparada con las influencias gravitacionales de los objetos más cercanos o más masivo, pero no será cero. Por más pequeño que sea un objeto y por más alejado que se encuentre su influencia se ejerce por todo el espacio. Que bien, ¿no?

Considere un cuerpo de masa m a una distancia h sobre la superficie terrestre o a una distancia d desde el centro de la Tierra, donde d = R_T + h. La magnitud de la fuerza gravitacional que actúa sobre esta masa es:

Si el cuerpo esta en caída libre, entonces
F = mg' y g', la aceleración en caída libre experimentada por un objeto a la altura h, es en módulo:

; Así se concluye que g' disminuye con alturas crecientes. Puesto que el verdadero peso de un cuerpo es m g' se observa que d ->a, el peso verdadero tiende a cero.

La aceleración de gravedad disminuye al aumentar la altura

Ejemplos
*La nave espacial COPEYEXPERT de 15 toneladas se lanza hacia la Luna. En que punto situado entre la Tierra y la Luna, la fuerza de atracción gravitatoria resultante sobre la nave es nula.

Datos:

Masa de la Tierra=	M_T= 6,0 X10^2⁴ Kg
Masa de la Luna =	m_L= 7,4 X10^2²Kg
Masa de la Nave =	m_N= 15 Ton = 15 X10³ Kg
Distancia entre la Luna y la Tierra =	R_L= 3,84 X 10³ m
Constante de gravitación Universal =	G = 6,7 x10^-11New.m^² /kg^²F = 0

Solución:

Como el problema informa que la fuerza resultante en dicho punto es nula ( F₁ - F₂= 0), quiere decir que (F₁ - F₂), es decir, las dos fuerzas de atracción son iguales, resulta:
Simplificando m_N y utilizando los recursos del cálculo, se cumple: ; Observe que la solución del problema no depende de la masa de la masa de la nave ( m_N), lo cual indica que la condición del problema ( F = 0) se cumple para cualquier objeto que se coloque en dicho punto.
Sacando raíz cuadrada a ambos miembros de la relación anterior y despejando x, se
cumple:

*Determine la magnitud de la aceleración en caída libre a una altura de 600 Km. ¿En que porcentaje se reduce el peso de un cuerpo a esta altura?

Datos

h = 600 Km = 0,6 X 10 m⁶

R_T = 6,4 X 10⁶ m

M_T= 6 X 10²⁴Kg

Solución

g' = 8,16 m / seg²

Puesto que g' / g = 8,16/9,8 = 0,83, significa que el peso de un cuerpo se reduce aproximadamente 17% a una altura de 600 km.

Gravitación universal
La Tierra es redonda. Pero ¿por qué es redonda? Pues es redonda debido a la gravitación. Puesto que todos los objetos se atraen mutuamente, la Tierra se ha atraído a sí misma antes de solidificarse. Cualquier “esquina” que la Tierra haya podido tener ha sido aplastada de tal manera que el planeta es ahora una gigantesca esfera. El Sol, la Luna y la Tierra son bastantes esféricos, por los efectos de la rotación hacen que estos cuerpos sean un poco más anchos por el ecuador). Si todo objeto tira de todos los demás, entonces los planetas deben tirar uno de otros. Por ejemplo, la fuerza total que determina el movimiento de Júpiter no proviene únicamente de su interacción con el Sol, sino también de una interacción con los planetas.

Cuando el planeta Saturno se encuentra cerca de Júpiter, su atracción altera la trayectoria de éste. Ambos planetas se desvían de sus orbitas normales. Esta desviación se conoce como perturbación.

En conclusión son pocas las teorías que han afectado la ciencia y la civilización tan profundamente como la teoría de la gravedad de Newton. Los éxitos de las ideas de Newton dieron comienzo a la Edad de la Razón, o Siglo de las Luces. Newton había demostrado que era posible descubrir el funcionamiento del universo físico por medio de la observación y de la razón . Qué profundo es que todos los planetas, lunas, estrellas y galaxias se rijan por una regla tan simple y hermosa como:

Fundación Educativa Héctor A. García