Definición y áreas de interés Proyecto
Salón Hogar
L a G r a n E n c i c l o p e d
i a I l u s t r a d a d e l P r o y e c t o S a l ó n H o
g a r
Conservación de la cantidad de movimiento
Para deducir el enunciado de este principio se parte de la
tercera ley de Newton (ley de acción y reacción).
Considere dos esferas de masa m1
y m2,
las cuales se hayan dotadas inicialmente de velocidades
y
respectivamente. Al
chocar las nuevas velocidades
y
serán respectivamente.
Como las esferas están en contacto mutuo durante un intervalo de
tiempo muy pequeño, el
impulso .
debe ser igual y
opuesto al impulso .,
escribiéndose
.=
- .(Ec.1)
Por otra parte .
= m1
( -
); -
.
= -m2
(-
) (Ec.2)
Sustituyendo (2) en (1) se tiene que:
m1(
-
)=-
m2(
-
)
aplicando la propiedad distributiva se tiene que: m1-
m1=
- m2+
m2;
trasponiendo términos se obtiene m1+
m2=
m1+
m2 +
=
+
El primer miembro representa la suma de las cantidades de
movimientos después del choque y el segundo miembro representa
la suma de las cantidades del movimiento antes del choque.
La cantidad de movimiento total del
sistema permanece constante
El valor de esos conceptos se hace tangible cuando se enfoca la
atención no a un cuerpo único, sino a un sistema de muchos
cuerpos que interactúan entre sí, pero sobre los cuales no actúa
fuerza externa alguna. Para aclarar lo anterior se comienza
describiendo el más sencillo de esos sistemas, el que consiste
de dos cuerpos de masas m1
y m2.
Si esos dos objetos chocan, la cantidad de movimiento de cada
uno cambiará. Pero, según la tercera ley de Newton, la fuerza
F12,
que ejerce m1
y m2,
debe ser igual en magnitud, pero en dirección opuesta a
F21,
la fuerza que m2,
ejerce sobre m1.
Esto es,
F= F12+
F21=
0; donde +
= constante
=
Por inducción, la conclusión de que la cantidad de movimiento
total permanece constante en ausencia de una fuerza externa, se
aplica a un sistema con cualquier número de partículas que
interactúan. El sistema obedece al principio de
conservación de la cantidad de movimiento.
“La masa del cohete disminuye lentamente a medida que se quema
el combustible. La cantidad total de movimiento se conserva,
porque la cantidad de movimiento de los gases calientes de
escape arrojados en la parte superior posterior es igual a la
cantidad en que se mueve el cohete hacia delante” Un cohete
simplemente “retrocede” por efecto de los gases que expulsa. Y
retrocederá mejor en ausencia de la resistencia del aire.
Si se desea acelerar un
objeto, es necesario aplicarle una fuerza. Para cambiar la
cantidad de movimiento o momento de un objeto es necesario
aplicarle un impulso. En cualquier caso, la fuerza o el impulso
se deben ejercer sobre el objeto por medio de algo externo a él.
Las fuerzas internas no cuentan
Por ejemplo, las fuerzas
moleculares dentro de una pelota de béisbol no tienen efecto
sobre su momento, del mismo modo en que una persona sentada en
el interior de un automóvil y que empuja contra el tablero no
ocasiona cambio alguno en el momento del vehículo. Ello obedece
a que éstas son fuerzas internas, que actúan y reaccionan dentro
de los propios cuerpos. Se requiere que actúe una fuerza externa
(o sea desde fuera) sobre una pelota o un automóvil para que
haya un cambio en su momento. Si no hay presente una fuerza
externa, no es posible un cambio en el momento.
Cuando se dispara una bala con
un rifle, las fuerzas presentes son internas. El momento total
del sistema formado por la bala y el rifle, por tanto no sufre
un cambio neto. Por la tercera ley de Newton de la acción y la
reacción, la fuerza ejercida sobre la bala es igual y opuesta a
la fuerza ejercida sobre el rifle. Las fuerzas que actúan sobre
la bala y el rifle lo hacen durante el mismo tiempo, lo que da
por resultado cantidades de movimiento iguales pero con
direcciones opuestas. Aun cuando la bala y rifle por sí mismos
han adquirido considerable momento, como sistema no experimentan
cambio alguno en el momento. Antes del disparo, el momento es
cero; después del disparo, el valor neto sigue siendo cero. No
se gana ni se pierde cantidad de movimiento.
En ausencia de una fuerza externa
neta, la cantidad total de movimiento de un sistema
permanece constante.
Choques o colisiones
Las manifestaciones de la conservación de cantidad de movimiento
son más claras en el estudio de choques dentro de un sistema
aislado de cuerpos. Se dice que el sistema es aislado, cuando no
actúan fuerzas externas sobre ninguna de sus partes. Las leyes
que describen las colisiones fueron formuladas por John Wallis,
Christopher Wren y Christian Huygens, en 1668.
Cuando dos objetos realizan una colisión, entre dichos objetos
se producen fuerzas recíprocas de interacción y se dice que los
objetos constituyen un sistema físico. Por otra
parte, si las únicas fuerzas que intervienen son las fuerzas
recíprocas se dice que el sistema está aislado.
Sobre la superficie terrestre no es posible obtener un sistema
completamente aislado, pues todos los objetos están sometidos a
fuerzas exteriores, tales como la fuerza de fricción o la fuerza
de gravedad. Sin embargo se admiten como sistemas aislados los
que están formados por objetos que se mueven horizontalmente
sobre colchones de aire, capas de gas o superficies de hielo
pues en estos casos el roce es mínimo y la fuerza resultante que
actúa sobre los objetos que constituyen el sistema es nulo.
También se consideran como sistemas aislados aquellos casos en
que las fuerzas exteriores son despreciables comparadas con la
fuerza de interacción, como ocurren con bolas de billar, discos
de plástico, esferas de acero, etc., que se mueven sobre
superficies horizontales lisas.
Se llama choques a la interacción de dos (o más) cuerpos
mediante una fuerza impulsiva. Si m1
y m2
son las masas de los cuerpos, entonces la conservación de la
cantidad de movimiento establece que: m1.
+
m2.
=
m1.
+
m2
Donde ,
,
,
son las velocidades iniciales y finales de las masas
m1
y m2.
Características en los choques 1) Los dos cuerpos pueden desintegrarse en pedazos
2) Puede haber una transferencia de masa
3) Las dos masas se pueden unir para formar una sola
4) Las masas pueden permanecer invariables. Aun en este caso hay
diversas posibilidades. Los cuerpos pueden permanecer
completamente inalterados, como cuando chocan dos bolas de
billar, o bien se pueden deformar, como cuando chocan dos
automóviles.
Choques entre dos cuerpos
Los dos son libres antes de la colisión, y puede caracterizarse,
cada uno, por su cantidad de movimiento constante. Durante la
interacción breve, sus cantidades de movimiento cambian, porque
cada uno siente una fuerza de impulsión debida al otro. Los
impulsos que sienten los dos cuerpos son iguales y opuestos,
porque las fuerzas son iguales y opuestas. La ganancia de
cantidad de movimiento de un cuerpo es igual a la pérdida de
cantidad de movimiento del otro.
Después del choque, los dos cuerpos también quedan libres, pero
tienen cantidades de movimiento distintas. Sin embargo la suma
de las cantidades de movimiento no cambia.
Nótese que no todas las colisiones se describen en forma
adecuada sólo con el impulso. A un cometa que entra al sistema
solar y da una vuelta a causa del campo gravitacional del Sol,
también se le puede considerar como que “chocó” con el Sol. El
movimiento del cometa no se puede determinar mediante un breve
impulso y el principio de conservación de cantidad de
movimiento.
El momento total de un sistema de
cuerpos que chocan no cambia antes, durante, ni
después del choque. Esto se debe a que las fuerzas
que actúan durante el choque son internas –fuerzas
que actúan y reaccionan dentro del propio sistema-.
Hay sólo una redistribución o compartimiento del
momento que existía antes del choque.
Clasificación de las colisiones
En una sola dimensión.
Dos objetos físicos realizan una colisión en una dimensión,
también llamada colisión frontal , cuando antes
y después de la interacción el movimiento de dichos objetos se
realiza a lo largo de una recta.
Si dos objetos constituyen un sistema
aislado y realizan una colisión frontal, los cambios en las
cantidades de movimiento de dichos objetos son iguales en
módulo, pero de sentido opuesto.
= -
Si dos objetos constituyen un sistema aislado y
realizan una colisión frontal, la cantidad total de movimiento
antes y después de la colisión es la misma. (Ley de la
conservación de la cantidad de movimiento)
Colisiones Elásticas
Cuando una bola de billar en movimiento choca de frente con otra
en reposo, la móvil queda en reposo y la otra se mueve con la
rapidez que tenía la primera. los objetos chocan rebotando sin
deformación permanente y sin generación de calor. Cualesquiera
que sean los movimientos iniciales, sus movimientos después del
rebote son tales que tienen el mismo momento total. En un choque
elástico en una dimensión, las velocidades relativas de las dos
partículas son constantes.
Rebote
Cuando hay rebote se produce una consecuencia interesante de la
conservación del momento. Considere una bola de golf que choca
con una bola de boliche que se encuentra en reposo. Si el choque
es perfectamente elástico, tal manera que la pelota de golf
rebote con sólo una pequeñísima pérdida de rapidez, la bola de
boliche retrocede con casi el doble del momento que la pelota de
golf incidente. Esto es congruente con la ley de la conservación
del momento, porque si el momento inicial de la pelota de golf
es positivo, entonces, después del rebote, es negativo.
El momento negativo de la pelota de golf es compensado por el
mayor momento de la bola de boliche. El momento neto antes y
después del choque es el mismo.
Colisiones Perfectamente inelásticas Cuando los objetos permanecen juntos después de la
colisión. Los cuerpos coalecen (“se pegan”) al chocar. En tal
caso, la energía mecánica no se conserva, porque no hay fuerzas
externas que actúen sobre el sistema de dos partículas. Las
velocidades finales son iguales (
=
).
Considérese el caso de un carro de carga que viaja sobre una vía
y choca con otro en reposo. Si ambos carros tienen la misma masa
y se unen al chocar, ¿Es posible predecir la velocidad que
tendrán unidos después del impacto? En cualquier choque, es
posible decir que:
Momento total antes del choque = Momento total después del
choque
Esto es cierto incluso cuando los objetos en colisión se unen o
traban durante el choque. Supóngase que el carro en movimiento
se desplaza a 10 metros por segundo y sea
m la masa de cada carro. Entonces por la conservación del
momento.
( mtotal)antes
= ( mtotal)después
( m=
10)antes = (2 m x ? )
después
Puesto que después del choque se está moviendo el doble de
masa, la velocidad debe ser la mitad de la que exista antes del
choque, o sea 5 m/seg. Así serán iguales ambos miembros de la
ecuación. Nótese la importancia de la dirección en estos casos.
El momento como la fuerza son cantidades vectoriales.
Colisiones en dos dimensiones
Dos objetos realizan una colisión de dos dimensiones o
bidimensional, cuando antes y después de la colisión los objetos
tienen libertad de moverse en un plano, según direcciones
diferentes. Experimentalmente puede comprobarse que la ley de
conservación de la cantidad de movimiento es válida también para
choques bidimensionales. En este tipo de choques las velocidades
inicial y final no están en una sola recta. Las cantidades
iniciales de movimiento de las partículas en la colisión se
pueden descomponer en dos componentes mutuamente
perpendiculares,
y
Los
componentes totales x e y deben satisfacer por separado la
condición de conservación.
El momento neto antes y después de cualquier choque permanece
inalterable, inclusive cuando los objetos que chocan se muevan
con ciertos ángulos entre ellos. Para expresar el momento neto
al considerar diferentes direcciones, se requiere una técnica
denominada adición vectorial.
El momento de cada objeto se expresa como un vector; el momento
neto se encuentra combinando los vectores en forma geométrica.
Una bomba que durante su caída explota en dos fragmentos. Los
valores de momento de los fragmentos se combinan por adición
vectorial para igualar el momento original de la bomba en caída.
Se pueden aplicar los argumentos de la conservación de la
cantidad de movimiento a situaciones en las cuales
no es cero, pero uno o
dos de sus componentes sí. En estos casos, se conservan los
componentes correspondientes de
. El problema de un
proyectil que explota en vuelo es un ejemplo en el cual se puede
seguir este camino. La fuerza sobre el sistema no es cero,
porque el sistema está sujeto a la gravedad. Sin embargo, esta
fuerza no tiene componentes horizontales, y por tanto se
conservan los componentes horizontales de
. Se presentan estos
casos más complicados no como un tema de estudio más profundo
sino para conocer situaciones más generales y apreciar que aun
cuando la idea de la conservación del momento es elegantemente
simple, su aplicación a choques más complicados puede ser
difícil especialmente si no se domina la adición vectorial.
Cualquiera que sea la naturaleza de un choque o por muy
complicado que se presente, el momento total antes, durante y
después de él se mantiene inalterable. Este concepto
extremadamente útil permite aprender mucho de los choques
haciendo caso omiso de la forma de las fuerzas que interactúan
en ellos.
Centro de masas Suponga que tiene dos bloques de masas
m1
y m2
que están unidos por medio de un resorte
comprimido. Si dichas masas son dejadas libres y se supone que
no hay roce, el cuerpo de masa m1adquiere
una velocidad
y el
cuerpo de masa m2
adquiere una velocidad
,
quedando luego el resorte en reposo.
La cantidad de movimiento antes de la interacción es nula porque
las masas están en reposo. La suma de las cantidades de
movimiento después de la interacción será:
m1
+ m2
Por el principio de la conservación de la cantidad de
movimiento, m1
+ m2=
0 Luegom1=
-m2
Si la acción del resorte es instantánea, las dos masas se mueven
distancias x1
y x2
de su posición inicial, con velocidades constantes,
dada cada una en módulo por:
=
x1
/
=
x2/
Sustituyendo (2) en (1) se tiene
que
m1.
x1/
=
m2.
x2/
Donde
m1.
x1=
m2.
x2
luego
Como puede notarse, esta expresión dice que las distancias
recorridas por los cuerpos en relación con el punto donde
partieron son inversamente proporcionales a las masas. Esto
significa que la mayor distancia la recorre el cuerpo de menor
masa.
El centro de masas es el punto que
divide la distancia que separa los cuerpos en proporción
inversa a sus masas.
Expresión matemática del centro de masa de un sistema en
relación a un punto de origen.
Considere dos masas m1
y m2,
cuyas distancias a un origen 0 , son respectivamente
x1
y x2.
Sea c un punto llamado centro de masas del sistema, el cual está
a una distancia xcm
del origen.
La expresión para la coordenada x
del centro de masas es:
y
respectivamente. Al
chocar las nuevas velocidades
muy pequeño, el
impulso
.
.
-
-
+
=
+
total)antes
= ( 
y
Los
componentes totales x e y deben satisfacer por separado la
condición de conservación. 
no es cero, pero uno o
dos de sus componentes sí. En estos casos, se conservan los
componentes correspondientes de
